ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
Определение. Вектором называется направленный отрезок прямой. Точка
Обозначения:
Определение. Длина вектора называется его модулем и обозначается
Определение. Координатами вектора
Определение. Суммой и разностью векторов и
произведение вектора
.
Определение. Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:
Определение. Расстояние d между двумя точками A и Bможно рассматривать как длину вектора
Определение. Если два вектора и
Определение Вектор Xназывается собственным вектором линейного оператора A(матрицы A), если найдется такое число l, что AX=lX.
Число l называется собственным значением оператора A, заданного матрицей A, т.е. собственные значения находятся из характеристического уравнения
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Определение Обыкновенное дифференциальное уравнение – уравнение, связывающее искомую функцию одной переменной и производные различных порядков данной функции.
Определение Порядок старшей производной – порядок дифференциального уравнения.
Определение Решение дифференциального уравнения – такая функция y=y(x), которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.
Определение Задача нахождения решения дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения.
Определение Общее решение дифференциального уравнения n- го порядка называется такое его решение
Определение Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде
Определение Д.у. первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде
(Для решения используется замена t=y/x)/
Определение Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид
(Сначала решаем уравнение
Определение Уравнение вида
называется уравнением Бернулли.
(Для решения используется замена
(Для решения этого уравнения составляем характеристическое уравнение ).
Теорема 1) Пусть характеристическое уравнение имеет действительные корни l1 и l2, причем
2) Если характеристическое уравнение имеет один корень l (кратности 2),то общее решение имеет вид
3) Если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то общее решение имеет вид
, где
НЕОБХОДИМЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О КАСАТЕЛЬНОЙ
Общее уравнение прямой:
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y=kx+b
(k=tgj коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой)
Если две прямые y=k1x+b1 и y=k2+b2 параллельны, то k1=k2.
Если две прямые y=k1x+b1 и y=k2+b2 перпендикулярны, то k1*k2=-1.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении(известен коэффициент k):
Пусть прямая проходит через точку M1(x1;y1) и образует с осью Ox угол
y-y1=k(x-x1)
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M1(x1;y1) и M2(x2;y2):
Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке x0 примет вид
y-f(x0)=f¢(x0)(x-x0)
Геометрический смысл производной:
f¢(x0)=k=tga
(производная f¢(x0) есть угловой коэффициент(тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке x0)
МАТРИЦЫ
Определение: Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрица размера m n:
Виды матриц
Определение: Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором)- столбцом.
Пример:
;