Матрицы. Дифференциальные уравнения (стр. 1 из 4)
ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
Определение. Вектором называется направленный отрезок прямой. Точка
называется началом вектора 
, а точка 
– его концом (рис. 1).Обозначения:
, 
. 
Определение. Длина вектора называется его модулем и обозначается
, 
.Определение. Координатами вектора
называются координаты его конечной точки. На плоскостиOxy 
; в пространствеOxyz 
.Определение. Суммой и разностью векторов 
и
являются соответственно векторы 
; 
;произведение вектора
на число l есть вектор 
.
Определение. Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:
(на плоскости); 
(в пространстве).Определение. Расстояние d между двумя точками A и Bможно рассматривать как длину вектора
, т.е. 
(на плоскости); 
(в пространстве).Определение. Если два вектора 
и
перпендикулярны, то 
(на плоскости); 
(в пространстве).Определение Вектор Xназывается собственным вектором линейного оператора A(матрицы A), если найдется такое число l, что AX=lX.
Число l называется собственным значением оператора A, заданного матрицей A, т.е. собственные значения находятся из характеристического уравнения
.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Определение Обыкновенное дифференциальное уравнение – уравнение, связывающее искомую функцию одной переменной и производные различных порядков данной функции.
Определение Порядок старшей производной – порядок дифференциального уравнения.
Определение Решение дифференциального уравнения – такая функция y=y(x), которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.
Определение Задача нахождения решения дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения.
Определение Общее решение дифференциального уравнения n- го порядка называется такое его решение
, которое является функцией переменной x и n постоянных. Частное решение при конкретных значениях 
.Определение Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде
.Определение Д.у. первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде
.(Для решения используется замена t=y/x)/
Определение Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид
(линейное неоднородное).(Сначала решаем уравнение
- линейное однородное, находим y и подставляем в исходное).Определение Уравнение вида
называется уравнением Бернулли.
(Для решения используется замена
).Линейные однородное д.у. второго порядка с постоянными коэффициентами
ОпределениеЛинейные однородные д.у. второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
=0(Для решения этого уравнения составляем характеристическое уравнение 
).
Теорема 1) Пусть характеристическое уравнение имеет действительные корни l1 и l2, причем
. Тогда общее решение уравнения имеет вид 
(С1, С2 – некоторые числа).2) Если характеристическое уравнение имеет один корень l (кратности 2),то общее решение имеет вид
(С1, С2 – некоторые числа).3) Если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то общее решение имеет вид
, где
, С1, С2 – некоторые числа.НЕОБХОДИМЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О КАСАТЕЛЬНОЙ
Общее уравнение прямой:
Ax+By+C=0
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y=kx+b
(k=tgj коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой)
Если две прямые y=k1x+b1 и y=k2+b2 параллельны, то k1=k2.
Если две прямые y=k1x+b1 и y=k2+b2 перпендикулярны, то k1*k2=-1.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении(известен коэффициент k):
Пусть прямая проходит через точку M1(x1;y1) и образует с осью Ox угол
y-y1=k(x-x1)
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M1(x1;y1) и M2(x2;y2):
Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке x0 примет вид
y-f(x0)=f¢(x0)(x-x0)
Геометрический смысл производной:
f¢(x0)=k=tga
(производная f¢(x0) есть угловой коэффициент(тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке x0)
МАТРИЦЫ
Определение: Матрицей размера m 
n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрица размера m n:
.Виды матриц
Определение: Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором)- столбцом.
Пример:
;
.