Матричные антагонистические игры с нулевой суммой в чистых стратегиях (стр. 12 из 16)

Операцией – называется всякое мероприятие (или система действий), объединенное единым замыслом, и направленное к достижению какой-то определённой цели. Операция всегда есть управляемое мероприятие, т.е. наблюдается зависимость, каким способом выбрать параметры, характеризующие её организацию. Всякий определённый выбор параметров называется решением. Оптимальными называются решения по тем или другим признакам предпочтительные перед другими.

В исследовании операций используется научный метод для изучения и объяснения явлений, связанных с функциональными системами, так как в рамках данной дисциплины изучается определенный круг явлений реальной действительности. Такие системы нередко включают людей и механизмы, которые действуют в условиях реального мира, причем слову «механизм» мы придаем достаточно общее значение, охватывающее все случаи – от механических устройств, обычно определяемых их названиями, до сложных социальных структур, функционирующих в соответствии с установленными правилами.

Научная дисциплина, называемая исследованием операций, наблюдает реальные явления, связанные с функциональными системами, разрабатывает теории (которые многие исследователи называют моделями), предназначенные для объяснения данных явлений, использует эти теории для описания того, что произойдет при изменении условий, и проверяет предсказания новыми наблюдениями.

Таким образом, исследование операций – наука, так как эта дисциплина использует научный метод для получения соответствующих знаний и отличается от других наук предметом исследований. Она изучает явления, связанные с функциональными системами, в том аспекте, который почти не рассматривается другими науками.

Учитывая этапы реализации научного метода, для любой научной дисциплины можно ожидать систематических публикаций четырех категорий, в которых соответственно приводятся результаты, получаемые при наблюдении явлений, и специальные способы проведения таких наблюдений. Даются построения математических моделей; описывается применение этих моделей для составления прогноза на основе полученных результатов; проводится проверка прогнозов путем сравнения с результатами новых наблюдений.

Во всяком случае, на протяжении всей истории развития методов исследования операций научные работники следовали рекомендациям Блеккета согласно которым, исследование операций, как и любая другая наука, не базируется на использовании точных копий аналитических методов какой-либо другой науки, а требует разработки своего собственного математического аппарата – методов исследований операций, ориентированного на специфику, присущую этой области и задачам исследования. Этот аппарат не должен оставаться неизменным; наоборот, он должен меняться в соответствии с характером исследуемых задач.

Довольно часто отправным моментом построения моделей служило сходство с моделями, используемыми другими науками. Таким образом, новые теоретические направления были развиты в основном в послевоенное время. Основы теории ведения боевых действий заложены Ланчестером в 1916г., и, хотя во время войны математические аспекты этой теории исследовались достаточно интенсивно, непосредственного применения при разработке операций военного времени она не нашла; действительно, вплоть до 1954г. Эта теория не была достаточно проверена.

Зарождение исследования операций как научной дисциплины было обусловлено неотложным требованием решения важных практических проблем. Поэтому в процессе становления исследования операции научные работники, которые занимались соответствующими исследованиями, не только заложили фундамент некоторого нового научного направления, но и использовали полученные знания для практического решения проблем. В течение второго и третьего десятилетий существования группы по исследованию операций значительно выросли и стали достаточно отличаться друг от друга по направлениям. Однако тесная связь между исследовательскими и практическими аспектами разработок оставалась характерной особенностью данной дисциплины: термин «исследование операций» как раз и подчеркивает их неразрывность. Итак, исследование операций включает как научное исследование систем, так и соответствующие виды технической деятельности, направленной на практическую реализацию результатов таких исследований.

Однако эти прикладные аспекты исследования операций предполагают не только простое применение знаний, полученных в результате использования теории, но требуют и наличие творческого начала (ориентации работы в желаемых направлениях), а также профессионального умения и навыков практического проектирования (направленных на выполнение требуемых задач или решение важных проблем). Кроме того, важно обеспечить внедрение результатов работ.

В исследовании операций немаловажную роль играют задачи, которые непосредственно вносят вклад в рациональное использование имеющихся в наличии ресурсов. Для примера рассмотрим подробное решение одной из задач.

Пример задачи о производстве красокЗадача фирмы Reddy Mikks Небольшая фабрика фирмы Reddy Mikks изготовляет два вида красок: для внутренних (I) и наружных (E) работ. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта-А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 т соответственно. Расходы А и В на 1 т соответствующих красок и максимально возможный запас приведены в таблице.

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Кроме этого установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3 тыс. долл. для краски Е 2 тыс. долл. для краски I.

Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Построение математической модели

Процесс построения математической модели для решения поставленной задачи можно начать с ответов на три следующие вопроса:

1. Для определения, каких величин должна быть построена модель?

2. Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, для моделируемой системы?

3. В чем состоит цель, для достижения которой из всех допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи?

Отвечая на поставленные вопросы, сформулируем суть проблемы. Фирме требуется определить объемы производства (в тоннах) каждой из красок, который максимизирует доход (в тысячах долларов) от реализации продукции, с учетом ограничений на спрос и расход исходных продуктов.

Введем переменные: так как нужно определить объемы производства каждого вида краски, то переменными в модели являются

· xE - суточный объем производства краски Е (в тоннах)

· xI - суточный объем производства краски I (в тоннах).

Так как стоимость 1 т краски Е равна 3 тыс. долл., суточный доход от ее продажи составит 3 xE тыс. долл. Аналогично доход от реализации xI тонн краски I составит 2 xI тыс. долл. в сутки. При допущении независимости объемов сбыта каждой из красок можно дать следующую математическую формулировку целевой функции: определить (допустимые) значения xЕ и xI, максимизирующие величину общего дохода

Ограничения: При решении рассматриваемой задачи должны быть учтены ограничения на расход исходных продуктов и спрос на изготовляемые краски. Ограничение на расход исходных продуктов можно записать следующим образом:

Это приводит к следующим двум ограничениям:

(для А) (для В) Ограничения на величину спроса красок имеют вид

Эти ограничения имеют вид:

(соотношение величин спроса на краску I и краску Е), (максимальная величина спроса на краску I). Переменные xI и xE не могут принимать отрицательных значений: (объем производства краски I), (объем производства краски Е). Итак, математическую модель можно записать следующим образом. Определить суточные объемы производства (xI и xE ) краски I и краски Е (в тоннах), при которых достигается (целевая функция) при ограничениях:

Что определяет линейный характер построенной модели? С формальных позиций данная модель является линейной потому, что все входящие в нее функции (ограничения и целевая функция) линейны. Линейность предполагает наличие двух свойств - пропорциональности и аддитивности.

1 Пропорциональность означает, что вклад каждой переменной хЕ и хI в целевую функцию прямо пропорционален этим переменным.

2 Аддитивность заключается в том, что целевая функция представляет собой сумму вкладов от различных переменных. Однако если фирма производит два конкурирующих вида продукции, увеличение сбыта одного из которых отрицательно сказывается на объеме реализации другого, то такая модель не обладает свойством аддитивности.