Матричные антагонистические игры с нулевой суммой в чистых стратегиях (стр. 13 из 16)

Задача о пищевом рационе.

Пусть имеется 4 вида продуктов:

. Стоимость единицы каждого продукта . Согласно этим условиям, требуется составить пищевой рацион, в котором должны содержаться белки, в количестве не менее единиц, углеводов – не менее единиц, жиров – не менее единиц.

Составим таблицу.

продукт	элементы			продукт	элементы
	Белки	углеводы	Жиры		Белки	углеводы	Жиры

( ) – какие то определённые числа. Первый индекс указывает номер продукта, второй – номер элемента (белки, жиры углеводы). Требуется составить пищевой рацион таким образом, чтобы условия по белкам, жирам и углеводам были выполнены. Математическая модель будет выглядеть следующим образом: - количества продукции входящих в рацион. Показатель эффективности L– стоимость рациона (эту величину требуется минимизировать). Запишем линейную зависимость . Учитывая, что в одной единице продукта содержится единиц белка, в единицах - единиц белка, в единицах продукта содержится единиц белка и т.д. получим три неравенства: эти линейные неравенства представляют собой ограничения, накладываемые на элементы решения . Таким образом задача сводится к следующей: найти такие неотрицательные значения переменных , чтобы они удовлетворяли ограничениям – неравенствам и одновременно обращали в минимум линейную функцию этих переменных:

2.4 Математический аппарат теории игр и его применение к решению прикладных задач

Транспортная задача. Подобная задача возникает в своем простейшем варианте, когда речь идет о рациональной перевозке некоторого однородного продукта от производителей к потребителю. Поэтому здесь естественно возникает задача о наиболее рациональном прикреплении транспорта, правильном направлении перевозок груза, при котором полностью удовлетворяются потребности при минимальных затратах на транспортировку. Итак, задача формулируется следующим образом.

Имеется m пунктов производства с объемами производства в единицу времени а_i, i=

и n пунктов потребления b_i, i=

, естественно, что потребление не должно превышать возможностей производства

a_i

b_i, затраты на перевозку единицы продукции из i-го пункта производства в j-й пункт потребления составляют С_ij, а количество перевезенного продукта x_ij.

Требуется составить такой план перевозок, при котором суммарные затраты на них были бы минимальны min

C_ijx_ij при условиях, что в каждый пункт потребления завозится требуемое количество продукта

x_ij

b_j, j =

, из каждого пункта производства вывозится не более произведенного количества продукта

x_ij

a_i, =

и перевозимый объем продукта не может быть отрицательным x_ij

0, i=

, j=

.

Рассмотрим далее транспортную задачу в частной постановке.

На двух станциях отправления

и сосредоточено соответственно и единиц некоторого однородного груза. Этот груз следует доставить в три пункта назначения , , , причём в каждый из них должно быть завезено соответственно , , единиц этого груза. Стоимость перевозки единицы груза из пункта в пункт (равную ), считаем заданной. Все данные полезно представить в виде таблицы 2.2.

Таблица 2.2

Пункты назначенияПункты отправления	Пункты назначения			Запасы груза
Потребность в грузе

Естественно считать, что общий запас грузов на станциях отправления равен суммарной потребности в этом грузе всех станций назначения. Следовательно