Таблица 2.4
Виды сырья | Запасы сырья | Виды продукции | |
Доход |
В этой экономической ситуации
означает количество единиц сырья вида , необходимое для изготовления продукции вида . В последней строке таблицы указан доход, получаемый предприятием от реализации одной единицы каждого вида продукции.Нужно определить такой план выпуска продукции видов
и , при котором доход предприятия от реализации всей продукции оказался бы максимальным.Математическую форму поставленной задачи изучим на следующем числовом примере (см. таблицу 2.5).
Таблица 2.5
Виды сырья | Запасы сырья | Виды продукции | |
19 | 2 | 3 | |
13 | 2 | 1 | |
15 | 0 | 3 | |
18 | 3 | 0 | |
Доход | 7 | 5 |
Допустим, что предприятие выпускает
единиц продукции вида и единиц продукции вида . Для этого потребуется единиц сырья (на основании таблицы 2.5). Так как в наличии имеется всего 19 единиц сырья , то должно выполняться неравенство . Неравенство, а не точное равенство появляется в связи с тем, что максимальный доход может быть достигнут предприятием и в том случае, когда запасы сырья вида используются не полностью.Аналогичные рассуждения, проведённые для остальных видов сырья, позволяют записать следующие неравенства:
(сырьё ) (сырьё ) (сырьё ).При этих условиях доход
, получаемый предприятием, составит .Таким образом, математически рассматриваемую экономическую ситуацию можно сформулировать так.
Дана система
четырёх линейных неравенств и линейная целевая функция
.Требуется среди неотрицательных решений системы (4) выбрать такое, при котором целевая функция
принимает наибольшее значение (максимизировать).Рассмотрим на примере ещё несколько игр.
Игра Морро. Игроки показывают одновременно 1 или 2 пальца и в тоже время называют число. Если число, названное одним игроком, совпадает с общим числом пальцев, то игрок получит от своего противника выигрыш, равный этому числу. Если оба угадают верно, то чистый платёж будет равен нулю.
0 | 2 | -3 | 0 | |
-2 | 0 | 0 | 3 | |
3 | 0 | 0 | -4 | |
0 | -3 | 4 | 0 |
Оборона города («Игра полковника Блотто»)
Полковник Блотто имеет mполков, а его противник – nполков. Противник защищает 2 позиции. Позиция будет защищена полковником, если на ней наступающие полки окажутся в численном превосходстве. Противоборствующим сторонам тре6уется распределить полки между двумя позициями. Если игрок 1 (полковник) имеет на позиции больше полков, то выигрыш равен числу полков противника плюс один (занимаемая позиция равносильна захвату одного полка). Если у противника (игрока 2) больше полков на позиции, то игрок 1 таким образом теряет свои полки на этой позиции и ещё единицу. Если обе стороны имеют одинаковое количество полков на позиции, то имеет место ничья. Посмотрим на стратегии игроков.
Игрок 1 имеет следующие стратегии:
- послать все полки на первую позицию - послать полков на первую позицию, а полков – на вторую позицию и т.д. - послать все полки на вторую позициюИгрок 2 имеет такие стратегии:
- послать все полки на первую позицию - послать полков на первую позицию, а полков – на вторую позицию и т.д. - послать все полки на вторую позициюПусть m=4, n=3. Тогда рассмотрев всевозможные ситуации, получим матрицу выигрышей, для этой игры
Игрок 1Игрок 2 | ||||
4 | 2 | 1 | 0 | |
1 | 3 | 0 | -1 | |
-2 | 2 | 2 | -2 | |
-1 | 0 | 3 | 1 | |
0 | 1 | 2 | 4 |
Основная задача линейного программирования.