Матричные антагонистические игры с нулевой суммой в чистых стратегиях (стр. 2 из 16)

Теория игр является нормативной теорией, то есть предметом её изучения являются не столько сами модели конфликтов (игры), сколько содержание принимаемых в играх принципов оптимальности, существования ситуаций, на которых эти принципы оптимальности реализуются (такие ситуации или множества ситуаций называются решениями в смысле соответствующего принципа оптимальности), и, наконец, способы разрешения таких ситуаций. Рассматриваемые в теории игр объекты (игры), весьма разнообразны. Практически это означает, что единого для всех игр истолкования понятия оптимальности ещё не выработано. Поэтому прежде чем говорить, например, о наивыгоднейшем поведении игрока в игре, необходимо установить, в каком смысле эта выгодность понимается. Все применяемые в теории игр принципы оптимальности при всём их внешнем разнообразии отражают прямо или косвенно идею устойчивости ситуаций или множеств ситуаций, составляющих решения. В бескоалиционных играх основным принципом оптимальности считается принцип осуществимости цели, приводящий к ситуациям равновесия. Эти ситуации характеризуются тем свойством, что любой игрок, который отклонится от ситуации равновесия (при условии, что остальные игроки не изменят своих стратегий), не увеличит этим своего выигрыша.

Теория игр, созданная для математического решения задач экономического и социального происхождения, не может в целом сводиться к классическим математическим теориям, созданным для решения физических и технических задач. Однако в различных конкретных вопросах теория игр широко используются весьма разнообразные классические математические методы. В теории игр систематически и по существу употребляются понятия теории вероятностей. Кроме того, теория игр, будучи теорией принятия решений, может рассматриваться как существенная составная часть математического аппарата исследования операций. Теория игр рассматривает задачи принятия решений в ситуациях с несколькими участниками, когда значение целевой функции для каждого из субъектов зависит и от решений, принимаемых всеми остальными участниками. Предметом исследования теории игр являются такие ситуации, в которых важную роль играют конфликты и совместные действия. Примерами игр являются обычные игры: салонные спортивные, карточные игры. Именно с анализа подобных игр начиналась математическая теория игр, которые служат прекрасным материалом для иллюстрации положений и выводов этой теории. В итоге, всякая претендующая на адекватность математическая модель социально-экономического явления должна отражать присущие ему черты конфликта, т.е. описывать:

а) множество заинтересованных сторон (мы будем называть их игроками; в литературе по теории игр они именуются также субъектами, лицами, сторонами, участниками). В случае если число игроков, конечно, они различаются по своим номерам (1-й игрок и 2-й игрок в игре в орлянку или в случае дуополии) или по присваиваемым им именам (например, продавец и покупатель в ситуации монополия-монопсония);

б) возможные действия каждой из сторон, именуемые также стратегиями или ходами;

в) интересы сторон, представленные функциями выигрыша (платежа) для каждого из игроков.

В теории игр предполагается, что функции выигрыша и множество стратегий, доступных каждому из игроков, общеизвестны, т.е. каждый игрок знает свою функцию выигрыша и набор имеющихся в его распоряжении стратегий, а также функции выигрыша и стратегии всех остальных игроков, и в соответствии с этой информацией организует свое поведение.

Теория игр впервые была систематически изложена Дж. фон Нейманом и О. Монгерштерном в 1944 г., хотя отдельные результаты были опубликованы еще в 20-х годах. Нейман и Моргенштерн написали оригинальную книгу, которая содержала главным образом экономические примеры, поскольку экономическому конфликту легче всего придать численную форму. Во время второй мировой войны и сразу после нее теорией игр серьезно заинтересовались военные, которые увидели в ней аппарат для исследования стратегических решений. Затем главное внимание снова стало уделяться экономическим проблемам.

ГЛАВА 1. МАТРИЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

1.1 Принятие решений

Принятие решений – каждодневная деятельность человека, часть его повседневной жизни. Простые решения принимаются легко, часто автоматически; в сложных и ответственных случаях человек обращается за помощью к друзьям, родственникам, опытным людям, книгам для подтверждения своего решения, несогласия с ним или советом. Решения разрабатываются и реализуются с разной степенью профессионализма, поэтому их диапазон практически неограничен – от необдуманных до детально разработанных.

Что же такое «наилучшее» решение? В исследованиях операций «наилучшим» считается решение, доставляющее оптимум функции, выражающей цель системы. Более общее определение «правильного» или «наилучшего» решения в смысле принятия решений будем считать выбор такой альтернативы из числа возможных, в которой с учетом всех разнообразных факторов и противоречивых требований будет оптимизирована общая ценность, то есть она будет в максимальной степени соответствовать достижению поставленной цели. Отметим, что в отличии от исследования операций, в теории принятия решений не существует абсолютно лучшего решения. Решение является лучшим лишь для конкретного лица принимающего решение, в отношении поставленных им целей, при заданных условиях. Эта субъективная оценка оказывается в настоящее время единственно возможной основой объединения разнородных физических параметров решаемой проблемы в единую модель, позволяющую оценивать варианты решений.

Альтернативы.

Альтернатива – это один из возможных способов достижения цели или один из конечных вариантов решений. Альтернативы отличаются друг от друга последовательностью и приемами использования активных ресурсов. Для любой задачи принятия решений должна существовать тройка: цель, критерии, альтернативы. Если отсутствует один из компонентов, то проблема не поставлена. При наличии менее двух альтернатив, отсутствует выбор.

Альтернативы могут быть зависимыми и независимыми. Если действие над какой-либо альтернативой не влияет на качество других, то такая альтернатива является независимой. При зависимых альтернативах оценки одних из них оказывают влияние на качество других.

Задачи принятия решений существенно различаются в зависимости от наличия альтернатив на момент выработки политики и принятия решений. В некоторых задачах все возможные альтернативы известны и из них производится выбор наилучшей. Например, можно выбирать лучший университет, наиболее надежный банк или же банк с оптимальным соотношением «выгода-риск», наиболее благоприятный район для покупки квартиры и т.д. Существует множество задач, в которых все альтернативы или их часть появляются после принятия решений. Например, требуется разработать правила отбора лиц на предоставление грантов на конкурсной основе. Альтернативы в такой задаче появляются после разработки и декларации правил отбора.

Также существуют задачи, когда на основе рассмотрения имеющихся альтернатив возникают новые альтернативы. Первичные альтернативы не всегда удовлетворяют участников процесса выбора. Рассматривая их, участники понимают, чего же все-таки не хватает, что реализуемо при данной ситуации, а что нет. Этот класс задач можно назвать задачами с конструируемыми альтернативами.

Критерии

В современной науке о принятии решений считается, что варианты решений (альтернативы) характеризуются различными показателями их привлекательности для ЛПР (лицо, принимающее решение). Эти показатели называют признаками, факторами, атрибутами, критериями.

Пусть задано некоторое конечное множество альтернатив

. Из множества или любого его подмножества необходимо выделить одно или несколько вариантов решений в некотором смысле лучших или более соответствующих каким-либо заранее оговоренным условиям. Для решения этой задачи обычно используется следующий подход:

Множество вариантов

проецируется на числовую ось, так что каждому варианту соответствует конкретная точка числовой оси. В одну и ту же точку может либо не может проецироваться более одного варианта. Числовая ось, на которую спроецировано множество вариантов , называется шкалой. Сам процесс проецирования, то есть приписывания элементам из числовых значений, соответствующих точкам числовой оси, в которые они проецируются – шкалированием. Если после такого проецирования упорядочить все варианты из по величине приписанных им числовых оценок и сохранить за вариантами лишь их порядковый номер, то образованная таким образом шкала называется порядковой или ранговой.

Если вариант считается тем «лучше» или тем более соответствующим заранее фиксированной цели выбора, чем большая (или меньшая) числовая или ранговая оценка приписывается варианту, то шкала называется критерием для выбора или критериальной шкалой.