Матричные антагонистические игры с нулевой суммой в чистых стратегиях (стр. 4 из 16)

Задачи второй группы:

Дано: группа из

критериев, предназначенных для оценки любых возможных альтернатив; альтернативы либо заданы частично, либо появляются после построения решающего правила.

Требуется: на основании предпочтений ЛПР построить решающие правила, позволяющие: упорядочить по качеству все возможные альтернативы; отнести все возможные альтернативы к одному из нескольких (указанных ЛПР) классов решений.

А теперь от теории принятия решений перейдём к матричным играм.

Матричная игра игроков с нулевой суммой может рассматриваться, как следующая абстрактная игра двух игроков.

Игрок А имеет mстратегийi= 1, 2, …, m. Игрок В имеет nстратегий j= 1, 2, …, n. Каждой паре стратегий (i, j) поставлено в соответствие число а

, выражающее выигрыш игрока А за счет игрока В, если первый игрок примет своюi-ю стратегию, а второй – свою j-ю стратегию.

Каждый из игроков делает один ход: игрок А выбирает свою i-ю стратегию (i=

), В – свою j-ю стратегию (j=

), после чего игрок А получает выигрыш а за счет игрока А (если а < 0, то это значит, что игрок В платит второму сумму |а |). На этом игра заканчивается.

Каждая стратегия игрока i=

или j=

часто называется чистой стратегией.

Если рассмотреть матрицу А:

а	а	…	а	…	а
…	…	…	…	…	…
а	а	…	а	…	а
…	…	…	…	…	…
а	а	…	а	…	а

то проведение каждой партии матричной игры с матрицей сводится к выбору игроком Аi-й строки, а игроком Вj-го столбца и получения игроком А (за счет игрока В) выигрыша а

.

Как было сказано выше, главным в теории игр является понятие оптимальных стратегий игроков. В это понятие интуитивно вкладывается такой смысл: стратегия игрока является оптимальной, если применение этой стратегии обеспечивает ему наибольший гарантированный выигрыш при всевозможных стратегиях другого игрока.

Исходя из этих позиций, игрок А исследует матрицу выигрышей следующим образом: для каждого значения i(i=

) определяется минимальное значение выигрыша в зависимости от применяемых стратегий игрока В

а

(i=

)

т.е. определяется минимальный выигрыш для игрока А при условии, что он примет свою i-ю чистую стратегию, затем из этих минимальных выигрышей отыскивается такая стратегия i= i

, при которой этот минимальный выигрыш будет максимальным, т.е. находится

а

= а

= α

1.2 Определение игры

Дадим определение понятию «Игра». Игрой называется набор

,

где N– произвольное множество игроков; S– произвольное множество всех исходов игры; X_K- произвольное множество стратегий коалиции K

N; S(X^K)

S– множество возможных исходов, если коалиция Kприменяет стратегию х^K

Х_K; - транзитивное отношение предпочтения коалиции K

NнаS. При математической формализации игра, должна проходить по определенным правилам, которые представляют следующую систему условий:

- возможные действия каждого из игроков;

- объем информации, которую может получить каждая сторона о действиях другой;

- исход игры в результате каждой совокупности ходов противников.

Игроки: Считается заданным список игроков. Если игроков различать по номерам, то их список сводится к множеству

, где - число игроков. Считается, что игроки осведомлены о наличии каждого из своих партнеров.

Действия: Каждый игрок

имеет в своём распоряжении некоторый набор стратегий . Множества могут быть как конечными, так и бесконечными. В основе рационального поведения участников игры лежит так называемый постулат «общего знания»: каждый полностью информирован о своих стратегических возможностях и о стратегических возможностях своих партнёров. Процесс игры состоит в выборе каждым из игроков своей стратегии: . В результате складывается игровая ситуация . Множество Ω всех возможных игровых ситуаций образует ситуационное пространство игры, обозначаемое .

Интересы: Степень заинтересованности игрока kв той или иной ситуации sопределяется размером выигрыша

, который в этой ситуации он может получить. Таким образом, правила игры получаются заданием так называемых, функций выигрыша . Эти функции принимают числовые значения и имеют общую область определения . Каждая из таких функций есть функция «n-переменных»: .

Основной целью теории игр является выработка рекомендаций для удовлетворительного поведения игроков в конфликте, то есть выявление для каждого из них «оптимальной стратегии».Оптимальной называется стратегия, которая при многократно повторяющейся игре гарантирует игроку максимально возможный средний выигрыш (или эквивалентно минимально возможный средний проигрыш).

Опишем некоторые основные понятия, используемые в теории игр. Заинтересованные стороны называются игроками. Любое возможное действие для игрока называется его стратегией. В условиях конфликта каждый игрок придерживается выбранной им стратегии, в результате появляется набор стратегий, называемый ситуацией. Заинтересованность игроков в каждой конкретной ситуации, проявляется в том, что каждому игроку в данной ситуации приписывается число, выражающее степень удовлетворённости его интересов. Такое число называется выигрышем.

Игра начинается с некоторого положения и состоит из последовательности личных ходов, при каждом из которых один из игроков совершает выбор среди нескольких возможностей. Некоторые ходы могут быть случайными (таковы, например, бросание кости или тасование колоды карт).