Медианы треугольника (стр. 2 из 2)
AL=LB' = B'N=;NC.
АВ'=В'С.
Второе доказательство(8 класс).
Рассмотрим гомотетию с центром М и коэффициентом -1/2. Точка А переходит при этой гомотетии в
. Пусть В переходит в В' (рис. 2). Тогда 
= - 
АВ. С другой стороны, средняя линия 
получается из стороны ВА при гомотетии с центром С и коэффициентом 1/2; таким образом: 
= 
Итак,
, следовательно, В'= 
. Таким образом, треугольники ABCи 
гомотетичны, причем центр гомотетии лежит в точке М. По определению гомотетии, точки В, М и В' = лежат на одной прямой.Третье доказательство(9 класс).
Рассмотрим треугольники MACи М С (рис. 3). Их высоты, опущенные из вершины С, совпадают, а длины противолежащих этой вершине сторон относятся как 2:1, поэтому
, где S обозначает площадь. Аналогично, 
. Но 
. Следовательно, 
. Таким образом, треугольники МАВ, МВС и МСА равновелики. Пусть В' - точка пересечения прямых ВМ и АС. Докажем, что АВ' = В'С. С одной стороны,
С другой стороны,
.Пользуясь теоремой
,отсюда получаем
.Четвертое доказательство (9 класс).
ВМ= ВС + СА+АМ=ВС + СА+ 
Следовательно, точка М лежит на медиане
.Пятое доказательство (9 класс).
Опять рассмотрим точку В' пересечения прямых ВМ и АС (рис. 3). Применяя теорему синусов сначала к треугольникам АВ'В и СВ'В, а затем - к треугольникам АВМ и
ВМ и учитывая, что sin 
AB'B= sin CB'B, sin AMB= = sin MB, BC=2 Bи МА =2M , получим 
.Шестое доказательство(10 класс).
Проведем через точки А и В плоскость а, не содержащую С, и построим в этой плоскости правильный треугольник ABC(рис. 5). Из общих свойств параллельной проекции следует, что параллельная проекция вдоль прямой С 
переводит треугольник
АВС в треугольник АВ , причем медианы треугольника ABCпроектируются в медианы треугольника AB . Но в правильном треугольнике медианы являются и биссектрисами, а следовательно, пересекаются в одной точке. Легко доказать также (докажите!), что для треугольника AB справедливы равенства (1).Отсюда вытекает, что наша теорема верна и для треугольника АВС.
Упомянем еще одно, быть может, самое простое и естественное доказательство теоремы о медианах: если поместить в вершины треугольника равные массы и поочередно группировать их парами, мы получим, что центр всех трех масс лежит на каждой из медиан. Центр системы равных масс, помещенных в некоторые точки, называется центроидом этого набора точек, поэтому и точку пересечения медиан треугольника часто называют его центроидом.
Заключение
Исходя из проделанной работы можно сделать следующие выводы:
1. Одну теорему можно доказать разными способами. Это гораздо полезнее. Ведь ее можно изучить с разных сторон, используя различные методы и темы курса 8-10 классов.
2. Медиана была изучена многими учеными, но особый вклад в ее развитие внес немецкий ученый Г. Лейбниц. Он обнаружил замечательный факт: сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до вершин треугольника, лежащего в этой плоскости, равняется сумме квадратов расстояний от точки пересечения медиан до его вершин, сложенной с утроенным квадратом расстояния от точки пересечения медиан до выбранной точки.
Из этой теоремы следует, что точка на плоскости для которой сумма квадратов расстояний до вершин данного треугольника является минимальной, - это точка пересечения медиан этого треугольника.
3. Медианы используются не только в геометрии, но и в физике, и в статической математике. Для вычисления среднего арифметического и др.
Список использованных источников и литературы
1. И.Л. Никольская. Факультативный курс по математике. Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. Москва “Просвещение” 1991 г. с. 92-93.
2. Т.Л. Рыбакова, И.В. Суслова. Школьный справочник “МАТЕМАТИКА”. Ярославль “Академия развития” 1997 г. с. 113.
3. Ежемесячный научно-популярный физико-математический журнал Академии наук СССР и Академии педагогических наук литературы. “ Квант № 7 1990 г. с. 40.
4. Ежемесячный научно-популярный физико-математический журнал Академии наук СССР и Академии педагогических наук литературы. “ Квант № 1 1990 г. с. 54.
Приложение
1. Докажите, что точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений ее боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой. Вывести отсюда теорему о медианах.
2. Дан треугольник ABC. Укажите все такие точки P, что SPAB= SPBC =SPCA.
3. Каждая из вершин пятиугольника соединена с серединой противолежащей стороны. Докажите, что если четыре из полученных прямых пересекаются в одной точке, то и пятая прямая проходит через эту точку.
4. Через каждое из ребер трехгранного угла и биссектрису противоположного плоского угла проведена плоскость. Докажите, что три полученные плоскости имеют общую прямую.
5. Точки A1, B1, C1 лежат соответственно на сторонах BC, CA и ABтреугольника ABC. Известно, что отрезки AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке P, причем
Докажите, что P- центроид треугольникаABC.