Место прямой в начертательной геометрии (стр. 1 из 3)
Лекция 1. Вводная
Начертательная геометрия — раздел геометрии, в котором пространственные формы с их геометрическими закономерностями изучаются в виде их изображений на плоскости.
Основоположником начертательной геометрии, как науки, является французский ученый 18 века Гаспар Монж, систематизировавший все существующие знания в этой области и создавший труд «Geometry descriptive», изданный в 1799 г.. Г. Монж говорил, что «…нужно приучить пользоваться начертательной геометрией всех способных молодых людей, как богатых, для того, чтобы они были в состоянии употреблять свои капиталы с пользой – равно для себя и государства, так и для тех, у которых образование является единственным богатством, для того, чтобы они могли увеличить цену своего труда».
В России впервые этот предмет был введен в Московском высшем училище в 1810 году в Институте путей сообщения в Петербурге.
«Чертеж – это язык техники», - говорил Г. Монж, а проф. Курдюмов продолжал эту мысль: «А начертательная геометрия - это грамматика этого языка, т.к. учит нас правильно читать чужие и излагать наши собственные мысли, пользуясь в качестве слов только линиями и точками, как элементами всякого изображения».
Начертательная геометрия ставит перед собой 2 задачи:
1. Прямая ― научиться изображать на плоскости по оригиналу трехмерные геометрические объекты.
2. Обратная ― по заданному чертежу восстановить положение оригинала в пространстве.
Существуют центральный и параллельный методы проецирования. Рассмотрим первый.
Метод центрального проецирования
Если дана некоторая плоскость П1, которую мы назовем плоскостью проекций,центр проекций S вне ее, а также точку А, то проведя через т. А из центра S проецирующий луч, мы получим проекцию т. А на пл. проекций П1. Если таких произвольно расположенных точек будет несколько, то в итоге мы получим некую коническую поверхность, поэтому этот метод называется еще и коническим. При таком способе проецирования нет размерного соответствия между изображением и моделью. (Рисунок 1)
Рисунок 1 Рисунок 2
Метод параллельного проецирования
В тех случаях, когда размерное соответствие обязательно, используют метод параллельного или цилиндрического проецирования, когда центр проецирования находится в бесконечности и проецирующие лучи параллельны между собой (рисунок 2). В качестве фиксированного базиса используют три взаимно-перпендикулярных плоскости проекций.
Первая из них называется фронтальной плоскостью и обозначается латинской буквой V. Она стационарна. А проекциям точек этой плоскости присваивают индекс этой же плоскости, например Аv, Ан, Аw.
Вторая пл. проекций, расположенная горизонтально, так и называется – горизонтальная и обозначается - Н. Для получения плоского чертежа ее поворачивают относительно оси ох переднюю полу вниз, заднюю вверх.
Третья плоскость расположена, как и первая вертикально, но перпендикулярна к фронтальной, и разворачивается против часов стрелки вокруг оси oz при совмещении плоскостей в единую и называется профильной - W.
Эти три плоскости взаимно перпендикулярны и делят пространство на 8 углов – октантов.
Пересекаясь между собой, три плоскости образуют линии пересечения – оси.
V ∩ H Þox (ось абсцисс); H ∩ W Þoy (ось ординат); V ∩ W Þoz (ось аппликат).
Ниже на чертеже представлена модель пространства и рядом изображение ее на плоскости.
Рисунок 3 Рисунок 4
При этом следует помнить, что проецирующие лучи параллельны между собой и перпендикулярны к плоскостям проекций.
При проецировании мы будем использовать такие геометрические образы как точка, прямая, плоскость, объемные тела.
Точка
Точка – это геометрический образ, не имеющий измерений. Проекцией точки является основание перпендикуляра проецирующего луча, опущенного на плоскость проекций из заданной пространственной точки. Точка может быть задана на чертеже своими координатами, например: А (20;30;15;) или проекциями.
Х - указывает на расстояние до профильной плоскости проекций, Y – до фронтальной, Z – до горизонтальной.
Ортогональный чертеж точки образуется при проведении линий связи из соответствующих координат. На пересечении этих, перпендикулярных между собой линий и образуются проекции точек.
X,Y Þ Ah; X,Z Þ Av; Y,Z Þ Aw.
Линия связи – это прямая, соединяющая две проекции точки. Следует помнить, что фронтальная Av и профильная Aw проекции точки всегда находятся на горизонтальной линии связи, а фронтальная Av и горизонтальная Ah -- на вертикальной
Существует 3 способа получения третьей проекции:
1. Проекционный, когда ножка циркуля устанавливается в начало координат О, и раствором циркуля, равным координате упроводится дуга до пересечения с осью ох.
2. С помощью постоянной чертежа k-45°, когда из начала координат под углом 45° проводят прямую.
3. Координатный (самый точный и поэтому предпочтителен), когда на линии связи Аv - Аw от оси Z откладывают координату Y.
Классификация точек в пространстве
Пространственная точка А находится (Î) в пространстве R, когда ни одна из ее координат не равна 0.
Если одна из кординат = 0, а остальные не равны, то в общем случае точка принадлежит плоскости проекций. Так, если:
1. Х = 0, а Y, Z ¹ 0, то точка принадлежит профильной плоскости проекций.
2. Y = 0, а X, Z ¹ 0, то точка принадлежит фронтальной плоскости проекций.
3. Z = 0, а X, Y ¹ 0, то точка принадлежит горизонтальной плоскости проекций.
Если две координаты точки = 0, то точка находится на оси. Так, если:
1. Y, Z = 0, а X ¹ 0, то точка находится на оси X,
2. X, Z = 0, а Y ¹ 0, то точка находится на оси Y,
3. Х, Y = 0, а Z ¹ 0, то точка находится на оси Z
Когда точка лежит в начале координат О – (ориго - начало, лат.), то все ее координаты равны 0.
При выполнении чертежей и решении задач не всегда нужна третья проекция, поэтому в таких случаях пользуемся системой двух взамно-перпендикулярных плоскостей V и H. Например, эпюры точек А, В, С, D, E, F в системе четвертей выглядят следующим образом:
Рисунок 5
Проверьте себя, знаете ли вы:
1.Что изучает предмет «Начертательная геометрия»?
2.Чем отличаются методы центрального и параллельного проецирования?
3.Что такое плоскости проекций, сколько углов в пространстве они образуют, пересекаясь между собой?
4.Как образуется плоский чертеж (эпюр)?
5.Определение точки в пространстве и способы задания ее на чертеже.
6.Способы построения третьей проекции точки.
7.Классификацию точки в пространстве.
8.Можете ли вы по чертежу определить, как в пространстве расположена точка? (см. рисунок 5).
Лекция 2
Прямая
Прямая – это множество точек с одним измерением. Прямая на чертеже может быть задана проекциями точек или точкой и направлением. В пространстве прямая бесконечна и для ее ограничения используются термины и понятия – отрезок, луч.
Положение прямой в пространстве:
Прямая в пространстве может занимать 7 различных положений относительно плоскостей проекций.
1.Линии уровня – это прямые, параллельные только к одной плоскости проекций, на которую проецируются в натуральную величину:
а) фронтальная f б) горизонтальная h в) профильная p
Рисунок 1
2.Проецирующие прямые – прямые, параллельные двум плоскостям проекций и перпендикулярные к третьей. На две пл. проекций проецируются в натуральную величину на третью - в точку.
а)горизонт.-проецир. m, б)фронт.-проецир. в)проф.-проецир. р
Рисунок 2
3.Линии общего положения – это линии, которые ни на одну из плоскостей проекций не проецируется в натуральную величину. Для такой прямой
1. ZА - ZВ ¹ 0 2. YА – YВ¹ 0, 3. XА – XВ¹ 0,
Рисунок 3
Метод прямоугольного треугольника
Чтобы определить натуральную величину (Н.В). прямой общего положения и углы ее наклона к пл. проекций, необходимо воспользоваться методом прямоугольного треугольника.
Рисунок 3
Деление отрезка в заданном отношении
Пусть требуется отрезок АВ разделить точкой С в заданном отношении СА: СВ= 2: 3. Из точки А проведем в произвольном направлении вспомогательную прямую и на ней отложим 2+3=5 равных масштабных отрезков любой длины, получив отрезок А5. Точки 5 и В соединим прямой. Через точку 2 проведем прямую, параллельную В5, в пересечении этой прямой с отрезком АВ получим искомую точку С. Отрезку СА соответствуют два масштабных отрезка на вспомогательной прямой, а отрезку СВ – три таких отрезка. Точка С делит отрезок АВ в отношении 2: 3.
Рисунок 4
Относительное положение точки и прямой в пространстве
Возможны два случая:
1. А є l 2. А Ï l