Метод Винера-Хопфа и его приложения в физических задачах (стр. 3 из 3)
Для удовлетворения функции u граничным условиям должны выполняться 2 условия на f(очевидно из представления u):
Решение строится, если L(k) аналитическая в полосе τ- < Im(k) < τ+,если при этом τ- < 0, τ+ > 0. Тогда
,где L+ аналитическая в верхней полуплоскости τ- < Im(k), L- аналитическая в нижней п.п Im(k) < τ+.Если мы так представили L, несложно убедится в истинности решения
,где константа определяется как
Эти результаты мы получаем, замыкая контур интегрирования и пользуясь леммами Жордана об интегрировании по верхней/нижней полуплоскости. Убеждаемся, что вид функции L
нам подходит. Подставляя его в предыдущие равенства, получаем
и 
,что решает задачу. Теперь, как мы в самом начале говорили, перейдем к пределу по каппа к нулю и в пределе получаем гармоническую функцию:
вычисляя интеграл, получаем
Дальнейшие вычисления приводят нас к следующему результату:
-если вводим вспомогательную функцию так, то
,z=x+iy.Получили ответ задачи.
Вывод
В работе мы рассмотрели метод на примере интегральных уравнений ,и обосновали его правильность. После мы применили его к решению краевой задачи матфизики, используя представления о методе Винера-Хопфа из области специальных интегральных уравнений.
В общем то, мы применили небанальный переход, когда устремляли каппа к 0,и получали гармоническое уравнение.
В общем и целом, метод Винера-Хопфа, хоть и является достаточно узким методом, направленным на решение конкретного И.У. с определенным ядром, позволяет решать многие математические задачи помимо своего прямого предназначения.
Список использованной литературы
1. Б.Нобл. “Применение Метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных.”
2. Свешников, Тихонов, “Теория функций комплексного переменного.”