Метод Винера-Хопфа и его приложения в физических задачах (стр. 1 из 3)
Метод Винера-Хопфа и его приложения в физических задачах.
Демидов Р.А. ,ФТФ, 2105
Введение
Указанный метод подходит для решения интегральных уравнений на полубесконечном промежутке с ядром, зависящим от разности аргументов – речь идет об уравнениях вида
.Этот метод был предложен в совместной работе Н.Винера и Э.Хопфа в 1931 году, и находит разнообразные применения в теории дифференциальных и интегральных уравнений, а также в их приложениях в физических задачах.
В своей работе я опишу сам метод Винера-Хопфа, а также приведу его применение к решению краевых задач матфизики.
1. Метод
1.1 Случай бесконечного промежутка
Метод Винера-Хопфа основан на специальном виде ядра интегрального уравнения – оно зависит от разности аргументов, а не от самого аргумента. Собственно, для начала рассмотрим уравнение вида
(1) - это уравнение с бесконечным промежутком и тем же самым ядром. Решение его существует ,если выполняются 2 условия:
,а также условие сходимости нормы u(x):
.Эти условия работают при действительных λ. Мы рассмотрим два способа решения этого уравнения – один, использующий свойство свертки напрямую, другой – с помощью резольвенты. Итак,первый.Заметим, что в случае именно бесконечного промежутка интеграл представляет собой свертку ядра и функции u(x). Вспомнив,что Фурье-образы функций u(x),f(x),g(x) выглядят как, воспользуемся свойством образа свертки двух функций – “образ свертки есть свертка образов”.Тогда для функций U(k),V(k),F(k) – образов соответствующих функций, получаем алгебраическое уравнение:
(2) 
Данное свойство образа свертки доказывается “в лоб”, а именно – домножением равенства (1) на
и интегрированием по всей действительной оси: 
Делая замену во втором интеграле (x-s)=t, получаем
,что и требовалось доказать.
Видим, что мы свели исходную задачу к алгебраическому уравнению относительно образа исходной функции u(x). Выражая его через образы ядра и f(x),производя обратное преобразование Фурье, получаем в качестве искомого решения:
=>=>
(3) Второй способ: вычисляем резольвенту уравнения как
(4)В виде Фурье - образов это равенство выглядит так:
,где G(k) вычисляется как
(5)V(k) – Фурье-образ исходного ядра v(x) уравнения (1).То есть для решения исходного уравнения необходимо найти функцию g(x),применив обратное преобразование Фурье к (5),и подставить его в (4). Этот способ не требует вычисления каждый раз интегралов для F(k) при смене функции f,она подставляется в самом конце один раз, поэтому такой способ быстрее.
На примере этой задачи мы поняли, как решать уравнение с бесконечным промежутком интегрирования. На этом примере мы будем строить решение уравнения с полубесконечным промежутком – и опишем метод Винера-Хопфа.
1.2 Полубесконечный промежуток
Понятно, что в случае, если интегрирование идет не с -∞, а с 0, переходя к образам, мы не можем воспринимать наш интеграл как свертку – а значит, и не можем написать наше уравнение. Запишем некоторые свойства преобразования Фурье, связанные с полубесконечными промежутками, которые нам понадобятся в дальнейшем. Итак, в случае разбиения функции f (x) на два куска – f+(x) и f-(x), (f(x)= f+(x) + f-(x) )представляющих собой правый и левый концы следующим образом:
выражения для прямых и обратных преобразований Фурье для них будет выглядеть так:
f+:
,при
причем здесь 
- комплексная переменная, и выполняется неравенство Im(k)=τ > τ- . Причем 
Обратное преобразование выглядит так:
,и здесь мы интегрируем по любой прямой Im(k)=τ > τ- .
f-: При
для прямого преобразования Фурье имеем
,к здесь та же к.п. ,это верно в области с Im(k)=τ < τ+ . Обратное преобразование для f- выглядит аналогично:
Интегрирование идет по той же прямой с Im(k)=τ < τ+
При τ- < τ+ образ F(k) задаётся уравнением
как раз в полосе τ- < Im(τ) < τ+ . При τ- < 0,τ+ > 0 функция полоса Im(τ)=0 попадает в границы интегрирования, и интеграл можно взять вещественным, выбрав мнимую часть τ нулем.
Применим эти соображения к решению искомого уравнения. (6)
(6) Разложим неизвестную функцию u(x) на составляющие u+ , u- :
При подстановке этих функций в уравнение (6) мы получаем два уравнения на каждую часть u(x).Факт существование решения мы примем без доказательств. Мы ищем решения, удовлетворяющие следующим условиям:
, 
µ<τ+.При их выполнении в полосе µ < Im(k) < τ+ функции u+ ,u- являются аналитическими.
Переходя по формулам преобразования Фурье к уравнению для образов, аналогично проделанному в §1,мы имеем право пользоваться теми же свойствами, по причине именно такого выбора функций u+ ,u- .Итак, получаем:
,что видно из представления u(x)= u+(x)+u-(x), U(k)=U+(k)+U-(k) и уравнения (6).Перенося все в левую часть, видим, что
,если так задать функцию L(k).
Мы подошли к сути метода Винера-Хопфа: путем преобразования Фурье свели наше уравнение к алгебраическому, но уже относительно образов функции. Однако в нашем случае, в отличие от §1,неизвестныхфункций в нем две, и обе нам нужны. Грубо говоря, нам позволено найти решение, но оно не будет однозначным, и данный метод работает лишь для определенного вида функций.Пусть мы нашу функцию L(k) можем представить как частное функций L+(k),L-(k),уравнение принимает при этом вид
,и известно следующее – “плюсовая” часть есть аналитическая функция к.п. в области
, “минусовая” часть аналитическая функция в области 
,µ <τ+ , а значит, в полосе 
(которая непуста )существует единственная общая функция U(k), совпадающая с U+ ,U- в соответствующих областях. Если дополнительно задать, что функции L+,L- растут не быстрее степенной функции kn, то функции можем считать определенными, и приравнять правую и левую часть в общем случае многочлену Pn(k) (это получается, если учесть стремление U+,U- к нулю по |к|-> ∞.Теперь у нас неопределенности нет, и в общем виде это выглядит так:Если степень роста функций L есть единица(растут не быстрее линейной функции),то мы имеем для кусков функции L(k) следующее:
,и в итоговом решении будет присутствовать произвольная константа C.Приведу пример последнего случая с n=0. Пример.
- интегральное уравнение с полубесконечным промежутком и нулевой f для простоты. Решим его м.В.-Х.