Метод конструирования задач (стр. 1 из 3)

Метод конструирования задач

Автор: Литвиненко Анастасия, ученица 10 “Б” класса МГ № 48

Научный руководитель:

Трифанова Марина Анатольевна,

учитель МГ №48.

Норильск, 2002 г.

ВВЕДЕНИЕ.

Человечество уже много сотен лет решает задачи различного плана. Задачи ставила перед человеком природа, защита собственной жизни, постройка жилища. В зависимости от решения жизнь была то легче, то труднее. Много лет решению уделялось все внимание, но однажды возник вопрос: как же составить задачу. С тех пор, наверное, прошел большой период времени, и математика продвинулась далеко вперед, став "царицей всех наук", а вопрос остался и сейчас, как кто-то тысячелетия назад, я спрашиваю: как составить задачу?

Эта тема уже довольно давно заинтересовала меня, я пыталась найти ответ на свой вопрос в разных источниках, но в большинстве из них были представлены лишь исходная задача, задача, полученная на ее основе, определение способа составления и ничего больше. Тогда, изучив различные материалы, я решила ответить на этот вопрос сама. В представленной работе и содержится ответ.

Так как задачи бывают разные: учебные, конкурсные, олимпиадные, задачи ловушки и т.д., конструировать их можно тоже по-разному: можно создавать условия задачи на основе собственных наблюдений, а можно - выбирая опорой какие-то данные. Именно этот вид конструирования и рассматривается в данной работе.

Решение задачи часто требует нестандартного аналитического мышления, а значит и ее составление требует того же. Существует несколько способов конструирования, их пять: Обобщение, Конструкция, Частный случай, Перефразировка, Варьирование условий.

К каждому из них был составлен алгоритм конструирования, который упрощает составление задачи.

Данная работа состоит из Введения, пяти глав и Заключения. Каждая часть представляет один из способов конструирования задач, некоторые из них содержат задачи, составленные по данному алгоритму.

1. ПЕРЕФРАЗИРОВКА.

Этот прием делится на несколько видов, первый из которых так и называется: перефразировка.

1.1. Перефразировка. Этот способ конструирования можно использовать для самоконтроля. Если человек легко может перефразировать задачу, значит, он знает, что дано, и что нужно получить, видит соотношения между ними. Если он овладел и способом решения, то в дальнейшем без особых усилий сможет решить любую подобную задачу.

Алгоритм конструирования:

1.1.1. Выделение опорных утверждений.

Задачи бывают разные: на нахождение и на доказательство; в задачах на доказательство основными понятиями являются условие и заключение; в задачах на нахождение - данные и искомые величины. В задачах на нахождение часто особо выделяют задачи на построение какой-либо геометрической фигуры. Задачи на нахождение и задачи на доказательство тесно связаны. Чаще всего, узнав доказательство той или иной теоремы, учащиеся решают задачи на нахождение, в которых теорема находит свое непосредственное применение.

1.1.2. Решение задачи.

Это необходимо для того, что бы в дальнейшем проверить, не повлияла ли перефразировка на ход решения и результат задачи.

1.1.3. Выбор утверждений для перефразировки и их изменение.

Чаще всего это замена какого-либо термина или определения, что помогает "завуалировать" утверждение или действие.

1.1.4. Перефразировка.

1.1.5. Решение полученной задачи.

Пример1:

Задача: "Если треугольник вписан в окружность, то любая его сторона будет равна произведению двух радиусов этой окружности на синус угла, противоположного этой стороне". ("Геометрия 7-11" А.В. Погорелов)

1.1.1. Основные понятия: треугольник, вписанный в окружность, а=2Rsina.

1.1.2. Дано: АС^ВК; окр.О; ВК - диаметр; АВС.

Доказать: проекция АС равна АВ.

Доказательство:

Т.к. треугольник вписан в окружность, то из вершины В можно провести диаметр ВК. Соединив точку К с вершиной А, получим ÐВАК=ÐСВА, т.к. они имеют общую хорду АВ. Пусть ВС=а,Ð АКВ=a, тогда, т.к. ВК -диаметр, АВК - прямоугольный, то (по теореме синусов) а=2Rsina.Ч.т. д.

1.1.3. Фразу "сторона равна произведению двух радиусов на синус противолежащего угла" можно заменить на "проекция диаметра, перпендикулярного одной стороне на другую сторону, равна третьей стороне", т.к. смысл не изменится.

1.1.4. Полученная в итоге задача выглядит так: "Докажите, что для вписанного в окружность треугольника проекция диаметра, перпендикулярного одной стороне, на другую сторону, равна третьей стороне", (ж. “Квант”)В этой задаче специально используются "лишние" данные, чтобы задача была более красивой и ...запутанной.

1.1.5. Решение этой задачи точно такое же, как и у исходной задачи, поэтому оно не приводится.

1.2. Замена фигуры. Алгоритм конструирования:

1.2.1. Выделение основной фигуры задачи.

1.2.2. Решение задачи.

1.2.3. Замена фигуры и уточнение полученной задачи.

Пример 2:

Задача: " На плоскости отмечено пять точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Постройте пятиугольник, в котором данные точки являются серединами сторон". ( "Как задать вопрос?" Н.П. Тучнин).

1.2.1. Основная фигура задачи - пятиугольник.

1.2.2. Дано: т.В1, В2, В3, В4, В5.

Найти: т. А1, А2, А3, А4, А5.

Решение:

Для наглядности начертим на плоскости пятиугольник и отметим середины сторон, как если бы задача была решена. Проведем в пятиугольнике диагональ и получим две фигуры: четырехугольник и треугольник, середины сторон четырех-

угольника являются вершинами параллелограмма. Соединив точки В2, В3, В4, получим треугольник и достроим его до параллелограмма и найдем середину диагонали, которая параллельна прямой В1 В5 (по теореме о средних линиях треугольника). Таким образом, можно легко построить точки А1, А2 и А5, а зная их и А3, А4, при помощи параллелограмма.

1.2.3. Пусть будет не пятиугольник, семиугольник. Для этого нужно взять не пять, а семь точек, любые три из которых не лежат на одной прямой. В результате получается довольно трудная задача: " На плоскости отмечены семь точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Постройте семиугольник, для которого эти точки являются серединами сторон". ( Составлена самостоятельно).

1.3. Перевод задачи с геометрического языка на алгебраический.

В результате таких преобразований обычно получаются красивые и интересные задачи, которые имеют сложное решение. Этот способ перефразировки иллюстрирует тесное взаимодействие алгебры и геометрии. Конечно, перевод возможен не только с геометричес- кого языка на алгебраический, но и наоборот, хотя решение алгебраических задач на гео- метрическом языке встречается гораздо реже, ввиду сложности и характерности решения, присущего таким задачам.

Алгоритм конструирования:

1.3.1. Выбор условий, которые можно заменить алгебраическими выражениями.

1.3.2. Решение задачи.

1.3.3. Изменение условий.

1.3.4. Редактирование формулировки.

1.3.5. Решение полученной задачи.

Пример 3:

1.3.1. В данном случае перефразировки обычно берутся не отдельные фразы или термины, а части фигур (стороны, углы, диагонали и т.д.).

Условия для перевода: сторона СВ треугольника АВС, сторона АК треугольника АВК, ÐВАС, ÐАВК, радиус и диаметр.

1.3.2. Решение этой задачи приведено в пункте 1.1.2.

1.3.3. Пусть СВ=а, АК=в, ÐВАС=a, ÐАВК=b, ВК=х, ОН (радиус)=у.

1.3.4. Конечная формулировка выглядит так: “Найти отношение а к в системе:

а= sinaх

в= sinbу, на основании теоремы синусов”. (Составлена самостоятельно).

1.3.5. Решение: по теореме синусов, а=2 Rsina , тогда выражения а= sinaх, в= sinbу будут частными случаями теоремы, в этом случае sin a =Ö3/2, sinb=1/2, а х и у - диаметр и радиус соответственно, х=2у,Þв=у, Þа=2×Ö3в/2, Þа/в=1/Ö3.

Ответ: а/в=1/Ö3.

1.4. Переход от прямого утверждения к обратному.

Некоторые задачи и теоремы имеют одну интересную особенность: они верны, если их решать от начала до конца, и если логическая цепочка выводов движется в обратном направлении, т.е. данные и искомые величины могут меняться местами.

Алгоритм составления:

1.4.1. Выявление данных и искомых величин.

1.4.2. Решение задачи или доказательство теоремы.

1.4.3. Переход данных величин в искомые и наоборот.

1.4.4. Повторное решение в обратном направлении.

1.4.5. Точная формулировка задачи.

Хочется отметить, что далеко не каждая задача имеет обратный перевод.

Пример 4:

Задача: "Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм" ("Геометрия 7-11" А.В. Погорелов)

1.4.1. Данное: диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, искомое: параллелограмм.

1.4.2. Дано: АС^ВК, ВО=ОК, АО=ОС.

Доказать: АВСК - параллелограмм.

Доказательство:

ВО=ОК (по условию), АО=ОС (по условию), ÐВОС=ÐАОК (вертикальные), то ВОС= АОК, ÞАК= ВС, ÐОАК=ÐВСО, а т.к. это внутренние накрест лежащие, то АК½½ВС, аналогично АВ=СК и АВ½½СК,Þ АВСК - параллелограмм.

1.4.3. Данные: параллелограмм; искомые: диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

1.4.4. Повторное решение: АК½½ВС,ÞÐКАО=ÐВСО, ÐАКО=ÐСВО и АК=ВС, Þ АОК= СОВ и АО=ОС, а ВО=ОК.