Метод Лобачевського-Греффе (стр. 1 из 2)
1. Метод Лобачевского-Греффе розв’язання рівнянь (випадок дійсних коренів)
1.1 Загальні властивості алгебраїчних рівнянь
Розглянемо алгебраїчне рівняння n-ного ступеню (n≥1)
, (1)де коефіцієнти a0, a1, … , an – дійсні числа, причому a0≠0.
В загальному випадку вважатимемо перемінну x вважатимемо комплексною.
Головна теорема алгебри. Алгебраїчне рівняння n-ного ступеню (1) має рівно n коренів, дійсних або комплексних, при умові, що кожен корінь рахується стільки разів, яка його кратність.
При цьому кажуть, що корінь ξ рівняння (1) має кратність s, якщо
, 
. (символи над P означають похідні)Комплексні корені рівняння (1) володіють властивістю парної сполученості.
Теорема. Якщо коефіцієнти алгебраїчного рівняння (1) – дійсні, то комплексні корені цього рівняння попарно комплексно-сполучені, тобто якщо
(α, β – дійсні) є коренем рівняння (1) кратності s, то число
також є коренем цього рівняння та має ту ж кратність s.
Відзначимо, що модулі цих коренів однакові:
.Якщо x1, x2, … , xn - корені рівняння (1), то для лівої частини його вірний розклад
. (2)Звідси, роблячи перемноження біномів в формулі (2) і прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях x в лівій та правій частині рівняння (2), отримаємо співвідношення між коренями та коефіцієнтами між коренями та коефіцієнтами рівняння:
(3)Ліві частини рівняння (3) представляють собою суми сполучень коренів рівняння (1) по одному, по два і т. д. з n.
Приклад. Корені x1, x2, x3 кубічного рівняння
x3+px2+qx+r=0
задовольняють умовам:
Якщо враховувати кратність коренів, то розкладання (2) приймає вигляд
,де x1, x2, …, xm (m≤n) – різні корені рівняння (1) й α1, α2, ..., αm – їх кратності, причому
α1+ α2+...+ αm=n.
Похідна
виражається наступним чином: 
,де Q(x) – поліном такий, що
Q(x)≠0 при k=1, 2, …, m.
Тому поліном
є найбільшим загальним дільником поліному P(x) і його похідної P'(x). Як відомо, поліном R(x) може бути знайдений за допомогою алгоритму Евкліда. Складаючи відношення
,отримаємо поліном
з дійсними коефіцієнтами A0=a0, A1, …, Am, корені якого x1, x2, …, xm різні.
1.2 Постановка задачі методу
Дано алгебраїчне рівняння n-ного ступеню:
знайти корені рівняння (тобто всі значення змінної x, при яких рівняння вірне).
1.3 Ідея методу
Розглянемо алгебраїчне рівняння n-ного ступеню
, (1)де
. Припустимо, що корені рівняння (1) x1, x2, …, xn такі, що 
, (2)тобто корені різні за модулем, при чому модуль кожного попереднього кореня значно більший модуля наступного. Іншими словами, ми припускаємо, що відношення будь-яких двох сусідніх коренів, рахуючи у порядку спадання їх номерів, є величина, мала за модулем, тобто
(3)де |
k|< та - мала величина. Такі корені для кратності називатимемо відділеними (треба зауважити, що в загальному випадку це можуть бути як дійсні так і комплексні корені).Скористаймося тепер співвідношеннями між коренями та коефіцієнтами рівняння (1)
Звідси в силу припущення (3) ми отримуємо:
(4)де E1, E2, …, En – малі за модулем величини у порівнянні з одиницею. Нехтуючи в рівностях (4) величинами Ek (k=1, 2, …, n), будемо мати наближені відношення
(5)Звідси знаходимо шукані корені
(6)Щоб досягти відділення коренів, виходячи з рівняння (1), складають перетворене рівняння
, (7)коренями якого y1, y2, …, yn є m-ті ступені коренів x1, x2, …, xn рівняння (1), тобто
yk=xkm (k=1, 2, …, n). (8)
Якщо корені рівняння (1), які ми вважаємо розташованими у порядку спадання модулів, є різними за модулем, то корені рівняння (7) при досить великій степені m будуть відділеними, тому що
при 
.Наприклад, нехай
x1=2; x2=1,5; x3=1.
При m=100 матимемо:
y1=1,27*1030; y2=4,06*1017; y1=1 і, відповідно,
.Зазвичай в якості показника m беруть ступінь числа 2, тобто вважають m=p2, де p – натуральне число, а саме перетворення роблять у p прийомів, кожен раз складаючи рівняння, коренями якого є квадрати коренів попереднього рівняння.
Наближено обчисливши корені yk(k=1, 2, …, n), з формул (8) можна визначити і корені вихідного рівняння (1). Точність обчислень залежить від того, наскільки малим є відношення модулів сусідніх коренів перетвореного рівняння.
Ідея цього методу обчислення коренів належить Лобачевскому, практично зручна схема обчислень була запропонована Греффе.
Достоїнством метода Лобачевського-Греффе є те, що при використанні цього методу немає необхідності ізолювати корені. Треба лише позбавитися від кратних коренів. Саме обчислення коренів ведеться регулярним способом. Метод придатний також для знаходження комплексних коренів. Незручність методу полягає в необхідності оперування з досить великими числами. Крім того, відсутній достатньо надійний контроль обчислень й ускладнена оцінка точності отриманого результату.
Зауважимо, що якщо корені рівняння (1) різні, але модулі деяких з них близькі між собою, то збіжність метода Лобачевського-Греффе досить повільна. В цьому випадку такі корені варто розглядати як рівні за модулем і використовувати спеціальні прийоми обчислення.
1.4 Процес квадратування коренів
Покажемо тепер, як можна просто скласти рівняння, коренями якого є квадрати коренів даного алгебраїчного рівняння, взяті зі знаком мінус. Остання обставина викликається міркуваннями зручності, щоб за можливістю уникнути появи від’ємних коефіцієнтів. Процес переходу від коренів xk (k=1, 2, …, n) до коренів
yk=-xk2 (1)
для короткості зватимемо квадратуванням коренів.
Нехай
P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an=0
- дане рівняння, де a0≠0.
Позначуючи через x1, x2, …, xn корені цього рівняння, матимемо:
P(x)=a0(x-x1)(x-x2)…(x-xn).
Звідси
P(-x)=(-1)na0(x+x1)(x+x2)…(x-xn).
Відповідно,
P(x)P(-x)=(-1)na02(x2-x12)(x2-x22)…(x2-xn2). (2)
Вважаючи
y=-x2
в наслідок формули (2) отримаємо поліном
Q(y)=P(x)P(-x),
Коренями якого є числа
yk=-xk2 (k=1, 2, …, n).
Так як
P(-x)=(-1)n(a0xn-a1xn-1+a2xn-1-…+(-1)nan),
то, роблячи перемноження поліномів P(x) і P(-x), матимемо:
P(x)P(-x)=(-1)n(a02x2n-(a12-2a0a2)x2n-2+(a22-2a1a3+2a0a4)x2n-4-...+(-1)nan2).
Відповідно, рівнянням, що цікавить нас є
Q(x)=A0yn+A1yn-1+A2yn-2+…+An=0
де
A0=a02,
A1=a12-2a0a2,
A2=a22-2a1a3+2a0a4,
…
An=an2.
Правило: При квадрату ванні коренів кожен коефіцієнт перетвореного рівняння дорівнює квадрату попереднього коефіцієнта, мінус подвоєний добуток сусідніх із ним коефіцієнтів, плюс подвоєний добуток слідуючих в порядку близькості коефіцієнтів і т. д., причому якщо потрібний коефіцієнт відсутній, то він вважається рівним нулю.
1.5 Використання методу для випадку дійсних різних корені
Нехай корені x1, x2, …, xn рівняння n-ного ступеню з дійсними коефіцієнтами
(1)дійсні і різні за модулем. Розташуймо їх в порядку спадання модулів:
.Покроково використовуючи метод квадратування коренів, складемо рівняння
, (2)коренями якого слугують числа
(k=1, 2, …, n). (3)Якщо p досить велике, то корені y1, y2, …, yn є відділеними та на підставі частини 1.2. могуть бути визначені з ланцюжку лінійних рівнянь
