Метод ортогонализации и метод сопряженных градиентов (стр. 4 из 4)

т.е.

Докажем коллинеарность векторов

и (36)

Из (20) и (29) имеем:

а это и доказывает коллинеарность векторов (36).

Вектор

дает минимум функционала в плоскости, проходящей через и натянутой на векторы и , а мы показали, что этот минимум лежит на прямой, проходящей через в направлении вектора . Но на этой прямой минимум функционала достигается на векторе . Это и означает, что

Это и доказывает справедливость (34) при всех i.

На первый взгляд кажется, что первый алгоритм лучше, так как на каждом шаге он требует лишь одного умножения матрицы А на вектор

, а во втором алгоритме требуется два умножения матрицы А на вектор и , но опыт показал, что применение первого алгоритма приводит к быстрому накоплению ошибок округления, так что для матриц большого порядка возможно существенное отклонение от точного решения. Второй алгоритм менее чувствителен к ошибкам округления и поэтому требует меньшего количество шагов для получения хорошего приближенного решения.

Метод сопряженных градиентов целесообразно использовать для решения систем уравнений, в которых матрица А имеет много нулевых элементов. При решении системы по этому методу элементы матрицы участвуют в арифметических операциях лишь при умножении матрицы на вектор, а умножение матрицы на вектор можно организовать так, чтобы в арифметических операциях участвовали только ненулевые элементы.

Заключение

В данной работе были рассмотрены метод ортогонализации и метод сопряженных градиентов, а также представлена программа на языке программирования С++, реализующая метод ортогонализации на ЭВМ, и ее результаты работы.

Список литературы

1. Березин И.С. и Жидков Н.П. Методы вычислений. т. 1. М.: «Наука», 1965. 633c.

2. Воеводин В.В. Численные методы алгебры (теория и алгоритмы). М.: «Наука», 1966.

3. Подбельский В.В. и Фомин С.С. Программирование на языке Си. М.: «Финансы и статистика», 2000. 599 с.

4. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: «Наука», 1978. 512 с.