Расширение кольца с помощью полутела (стр. 2 из 3)

3) R – радикальное по Джекобсону кольцо, аддитивная группа которого есть делимая группа без кручения.

Доказательство.

1Þ2. Для данной тройки рассмотрим подходящие полукольцо Sи конгруэнцию r. Поскольку D - подрешетка дистрибутивной решетки L с 0 и 1, в качестве дизъюнктного объединенияможно взять подполукольцо [1]_rÈ[0]_r в S.

2Þ1. Любая дистрибутивная решетка L обладает простым идеалом I, более того L\I - дуальный идеал.

Поэтому в качестве полукольца S можно взять множество пар (i,r),iÎI,rÎRÈ(l,p),lÎL/I,pÎP с покоординатным сложением и умножением. Ввиду простоты I операции заданы корректно, аксиомы полукольца выполняются, поскольку они выполняются для левой координаты, как аксиомы решётки и для правой координаты, что следует из существования F, [0]_r@R, [1]_r@P, F/r@L₂. Если в качестве конгруэнции g выбрать отношение равенства первых координат, то [0]_g@R, [1]_g@P, S/g@L₂, что завершает доказательство.

Лемма.Пусть в кольце R"r $r¢ "tÎR,(r+r¢r+r¢)t=0Ù,(r+rr¢+r¢)t=0, тогда"r $r² ,r+r²r+r²=0Ùr+r²r+r²=0.

Доказательство.Пусть выполнено условие леммы, тогда, положим r²=-r-r¢r. Имеем

r+r²r+r² = r+(- r - r¢r)r - r - r¢r = (r+r¢r+r¢)(-r)=0

r+rr²+r² = r+r (- r - r¢r) - r - r¢r = (r+rr¢+r¢)(-r)=0.

Кольцо R называется радикальным по Джекобсону, если оно совпадает со своим радикалом Джекобсона (см., например, [5]). Это означает, что операция «круговой композиции» r°s = r+s+rs в R является групповой, с нейтральным элементом 0. Другими словами, в кольце R для любого элемента rсуществуетединственный элемент s, такой, что r+s+rs=0.

2)Þ3). P содержит Q⁺, иначе 1+1=1, умножив равенство на ненулевой элемент кольца r, имеем r+r=rÛr=0 – противоречие. Таким образом, R – полумодуль над Q⁺ и, значит, модуль над Q. Поэтому <R,+> - делимая абелева группа без кручения (подробно см. также предложение).

Множество T=Q⁺+R является подполутелом в U, поскольку

q₁+r₁+q₂+r₂= (q₁+q₂)+(r₁+r₂);

(q₁+r₁)(q₂+r₂) = (q₁q₂+q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂) =q₁q₂+(q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂);

t=q+rÞ1=qt ^-1+rt ^-1Þt ^-1=q ^-1- q ^-1r t ^-1Î Q⁺ + R.

Следовательно, для любого элемента 1+r,rÎR найдётся, 1+r¢,r¢ÎR что (1+r)(1+r¢) = (1+r¢)(1+r) = 1. Из дистрибутивности следует, что 1+r+rr¢+r¢ = 1+r+r¢r+r¢ = 1. Умножая последнее равенство на любое tÎR, имеем (r+r¢r+r¢)t=0Ù(r+rr¢+r¢)t=0, значит, в виду леммы, R радикально по Джекобсону.

3)Þ2). Поскольку R радикально по Джекобсону, алгебра Q⁺´R с операциями

(q₁,r₁)+(q₂,r₂)= (q₁+q₂)+(r₁+r₂), (q₁,r₁)×(q₂,r₂) = (q₁q₂,q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂)

является полутелом с единичным элементом (1,0). А множество S@(Q⁺È{0})´R с теми же операциями совпадает с (Q⁺´R)

({0}´R) = (Q⁺´R) R.

Примеры. 1. Любое ниль-кольцо радикально по Джекобсону. В частности таково кольцо с нулевым умножением.

Ещё одним частным случаем является нильпотентное кольцо R, порождённое одним элементом e.

Пусть e - образующий. Поскольку в качестве элементов R выступают p₁e + p₂e² + … + p_n-1e^n-1, p_iÎQ, n - наименьшая нулевая степень e, T

R - в точности совпадает с одним из двух полуколец.

(q+q₁e + q₂e² + … + q_n-1e^n-1,p₁e + p₂e² + … + p_n-1e^n-1)qÎQ⁺,q_i,p_iÎQ или

(q+q₁e + q₂e² + … + q_n-1e^n-2,p₁e + p₂e² + … + p_n-1e^n-1)qÎQ⁺,q_i,p_iÎQ

c операциями

(q₁,r₁)+(q₂,r₂) = (q₁+q₂)+(r₁+r₂), (q₁,r₁)×(q₂,r₂) = (q₁q₂,q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂).

2. Радикальным по Джекобсону будет кольцо, совпадающее с подмножеством гипердействительных чисел R@m(0). Это коммутативное кольцо без делителей нуля. "aÎm(0), a+x+ax = 0Ûx = (-a)/(1+a)Îm(0)

Моделью представленного полукольца является прямое произведение двух подмножеств кольца Q[x]: многочленов с неотрицательным свободным членом и многочленов с положительным свободным членом. Множество пар, вида (q+q₁e + q₂e² + … + q_n-1e^l,p₁e + p₂e² + … + p_n-1e^m)qÎQ⁺,q_i,p_iÎ

Соответственно частному функций задаются все операции в этом множестве (разумеется, берётся не всё множество пар, а множество классов факторполукольца, где две пары эквивалентны тогда и только тогда, когда равны произведения их противоположных координат).

Этот пример легко обобщается для многочленов от произвольного множества переменных.

§2. Допустимые полутела

Дальнейший ряд предложений направлен на отыскание всевозможных полутел P , что P

R.

Замечания. 1. Пусть дано допустимое кольцо R, тогда множество элементов M = {mÎR, "rÎR|r∙m = m∙r =0} образует в нём подкольцо.

2. Множество элементов E = {eÎR,1+e=1} образует в M и в R двусторонний идеал с делимой аддитивной группой.

3.Множество Q⁺×(R/I) является полутелом с операциями (q₁,r₁)+(q₂,r₂) = (q₁+q₂)+(r₁+r₂), (q₁,r₁)×(q₂,r₂) = (q₁q₂,q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂), где I - произвольный идеал с делимой аддитивной группой кольца R.

Теорема 2. Пусть áR, U, Dñ- допустимая тройка и R ненулевое. Тогда множествоQ⁺+Rесть подполутело U, изоморфное ((R/I)´Q⁺), где I некоторый идеал аннулятора с делимой аддитивной группой. И существует канонический гомоморфизм a полутела U в кольцо R-модульных эндоморфизмов End_RR, образ которого содержит Q⁺. Если правый аннулятор кольца R нулевой, то полутело Ima содержит подполутело, изоморфное ((R/I)´Q⁺).

Доказательство. Пусть T, R - из допустимой тройки. Любой элемент T представим в виде q+r,qÎQ⁺,rÎR. Два элемента q+r₁ и q+r₂ равны тогда и только тогда, когда 1+r₁-r₂=1. С другой стороны, если 1+r = 1, то 1+r₁+r=1+r₁. Поэтому все элементы вида q+r+e, 1+e=1"e сливаются в классы q×(R/I), где I - множество всех e.