Раціональні дроби та їх властивості

м. Комсомольськ

гімназія ім. В.О.Ніжніченка

ПРАКТИЧНА РОБОТА

на тему

„Раціональні дроби та їх властивості”

підготувала

Шепель Ілона

2004 р.

Дріб, числівник і знаменник якого є многочленами, називається раціональним (алгебраїчним).

Наприклад,

; ; ;

є раціональними або алгебраїчними дробами.

Область припустимих значень (ОПЗ) алгебраїчного дробу є множина всіх числових наборів, що відповідають набору многочленів P та Q, для кожного з яких значення многочлена Q не дорівнює нулю.

Наприклад,

(ОПЗ) алебраїчного дробу

є множина всіх числових наборів, відповідаючих її буковному наборові (a,b,c)таких що

Два раціональні дроби

та тотожньо рівні на множині М, якщо на множині М справедлива рівність PB=QA, за умови, що многочлени Q та B не дорівнюють нулю.

Наприклад,

Справедлива тотожня рівність

для так як для них виконується

Основна властивість дробувиражена тотожністю , яка справедлива за умов, де R – цілий раціональний вираз (многочлен, одночлен або число).

Приведення раціональних дробів до спільного знаменника.

Скоротити дріб– це означає розділити числівникі знаменник дробу на спільниймножник.Можливість такого скорочення обумовлена основною властивістю дробу.

Спільним знаменником декілька раціональних дробів називається цілий раціональний вираз, який ділиться на знаменниккожного дробу.

Для того, щоб декілька раціональних дробів привести до спільного знаменника, потрібно:

1. Розкласти знаменниккожного дробу на множники;
2. Скласти загальний знаменник, включивши в нього в якості співмножників всі множникиодержаних розкладів; якщо множникє в декількохрозкладах, то він береться з найбільшим показником ступеню;
3. Знайти додаткові множники для кожногоз дробів (для цьогоспільний знаменник ділять на знаменник дробу);
4. Домноживши числівник і знаменник на додатковий множник, привести дроби до спільного знаменника.

Додавання і віднімання раціональних дробів.

Сума двох (любої скінченної кількості) раціональних дробівз однаковими знаменникамидорівнює дробу з тим же знаменникоміз числівником, що дорівнює сумі числівників дробів-доданків:

.

Аналогічно і в випадку віднімання дробів з однаковими знаменниками:

.

Для додавання і відніманняраціональних дробівз різними знаменникамипотрібно привести дроби до спільного знаменника, а потім виконати операції над дробами з однаковими знаменниками.

Наприклад:

Спростити вираз: .

Розв”язок .

Множення і ділення раціональних дробів.

Добуток двох (любої скінченної кількості) раціональних дробів тотожньо дорівнює дробу, числівник якого дорівнює добутку числівників, а знаменник – добутку знаменників дробів-співмножників:

.

Часткавід ділення двох раціональних дробів тотожньо дорівнює дробу, числівник якого дорівнюєдобутку числівника першого дробу на знаменникдругого дробу, а знаменник - добутку знаменника першого дробу на числівникдругого дробу:

.

Наприклад:

Виконати множення.

Розв”язок.

.

Піднесення раціонального дробу до степеня.

Для того, щоб піднести раціональний дріб до натурального степенюn, треба піднестидо цього степеняокремо числівник і знаменник дробу. Перший вираз – числівник, другий вираз – знаменник результата..

При піднесенні дробу до цілого від”ємного степенявикористовуємо тотожність

яка справедливапри будь-яких значеннях змінних, за яких P¹ 0, Q¹ 0.

Перетворення раціональних виразів

Перетворення будь-якого раціонального виразуможна звести до додавання, віднімання, множення та діленняраціональних дробів, а також до піднесення дробу до натурального степеня. Будь-який раціональний виразможнаперетворити на дріб, числівникі знаменникякого – цілі раціональні вирази; в цьому, як правило, є цільтотожніх перетвореньраціональних виразів.

Наприклад:

Спростити вираз

.

Розв”язок.

О. П. З.:

.

;

;

1. ;
2. 

;

.

Література:

1. М.Я. Выгодский, „Справочник по элементарной математике”, Москва, 1949

2. В.В. Вавилов, И.И. Мельников, „Задачи по математике. Алгебра”, Москва, 1987