Регресійний аналіз інтервальних даних (стр. 3 из 6)
Тоді, як відомо, оцінки МНК є найкращими лінійними оцінками, тобто спроможними і незміщеними оцінками, які являють собою лінійні функції результатів спостережень і мають мінімальні дисперсії серед безлічі всіх лінійних незміщених оцінок. Далі саме цей найбільше практично важливий окремий випадок розглянемо більш докладно.
Запишемо істині дані в наступній формі:
де R - індекс, що вказує на те, що значення істинне. Істині і обмірювані дані пов’язані таким чином:
де
Припустимо, що похибки виміру відповідають граничним умовам
(3.1.3)Нехай безліч W можливих значень
входить в Z - область визначення функції f(X,Y). Розглянемо 
- оцінку МНК, розраховану за істинним значенням факторів і відгуку, і 
- оцінку МНК, знайдену за відхиленими похибкам даних.Тоді
Введемо поняття нотни.
Означення: Величину максимально можливого (по абсолютній величині) відхилення, викликаного похибками спостережень
, відомого статистику значення f(y) від істинного значення f(x), тобтоNf(x) = sup | f(y) - f(x) |,
де супремум береться по безлічі можливих значень вектора похибки
, будемо називатинотною.Якщо функція f має частинні похідні другого порядку, а обмеження на похибку мають вигляд
(3.1.4)причому
мало, то збільшення функції f з точністю до нескінченно малих більш високого порядку описується головним лінійним членом, тобто
Щоб одержати асимптотичний (при
) вираз для нотни, досить знайти максимум і мінімум лінійної функції (головного лінійного члена) на кубі, заданому нерівностями (4.1.4). Легко бачити, що максимум досягається, якщо покласти 
а мінімум, що відрізняється від максимуму тільки знаком, досягається при 
. Отже, нотна з точністю до нескінченно малих більше високого
порядку має вигляд
(3.1.5)Цей вираз назвемо асимптотичною нотною.
Покладемо:
Будемо називати n(1) нижньою нотною, а n(2) верхньою нотною.
Припустимо, що при безмежному зростанні числа вимірів n, тобто при
вектора n(1), n(2) прямують до постійних значень 
відповідно. Тоді 
будемо називати нижньою асимптотичною нотною, а 
- верхньою асимптотичною нотною.Розглянемо довірчу множину
для вектора параметрів 
, тобто замкнута зв'язна множина точок в r-мірному евклідовому просторі така, що 
де α - довірча ймовірність, що відповідає Bα (α ≈ 1). Інакше кажучи, є область розсіювання випадкового вектора з довірчою ймовірністю α і числом досвідів n.З визначення верхньої й нижньої нотни треба, щоб завжди
Відповідно до визначення нижньої асимптотичної нотни й верхньої асимптотичної нотни можна вважати, що
при досить великій кількості спостережень n. Цей багатомірний інтервал описує r-мірний гіперпаралелепіпед P.Розіб'ємо P на L гіперпаралелепіпедів. Нехай
- внутрішня точка k-го гіперпаралелепіпеда. З огляду на властивості довірчої множини і спрямовуючи L до нескінченності, можна стверджувати, що 
де
Таким чином, безліч C характеризує невизначеність при оцінюванні вектора . Його можна назвати довірчою множиною в статистиці інтервальних даних.
Введемо деяку міру М(X), що характеризує "величину" множини
. По визначенню міри вона задовольняє умові: якщо
і 
то 
Прикладом такої міри є площа для r = 2 і об’єма для r = 3. Тоді:
М(C) = М(P) + М(F), (3.1.6)
де F = C \ P. Тут М(F) характеризує міру статистичної невизначеності, у більшості випадків вона спадає при збільшенні числа досвідів n. У той же час М(P) характеризує міру інтервальної невизначеності, і, як правило, М(P) прагне до деякої постійної величини при збільшенні числа досвідів n. Нехай тепер потрібно знайти те число досвідів, при якому статистична невизначеність становить δ-ю частина загальної невизначеності, тобто
М(F) = δ М(C), (4.1.7)
де δ < 1. Тоді, підставивши співвідношення (4.1.7) у рівність (4.1. 6) і вирішивши рівняння відносно n, одержимо шукане число досвідів. В асимптотичній математичній статистиці інтервальних даних воно називається "раціональним обсягом вибірки".
3.2 Метод найменших квадратів для лінійної моделі
Розглянемо найбільш важливий для практики окремий випадок МНК, коли модель є лінійною.
Для простоти опису перетворень пронормуємо змінні хij,уi. Наступним чином:
де
Тоді
Надалі будемо вважати, що розглянуті змінні пронормовані описаним образом, і верхні індекси опустимо. Для полегшення демонстрації основних ідей приймемо досить природні припущення.
1. Для розглянутих змінних існують наступні межі:
2. Кількість досвідів n таке, що можна користуватися асимптотичними результатами, отриманими при
3. Погрішності виміру задовольняють одному з наступних типів обмежень:
Тип 1. Абсолютні погрішності виміру обмежені згідно (4.1.3):
Тип 2. Відносні погрішності виміру обмежені:
Тип 3. Обмеження накладені на суму погрішностей:
Перейдемо до обчислення нотни оцінки МНК. Справедлива рівність:
Скористаємося наступною теоремою з теорії матриць.
Теорема. Якщо функція f(λ) розкладається в степеневий ряд у колі збіжності |λ – λ0| < r, тобто
то це розкладання зберігає силу, якщо скалярний аргумент замінити будь-якою матрицею А, характеристичні числа якої λk, k = 1,…,n, лежать всередині кола збіжності.
Легко переконатися, що:
Це випливає з послідовності рівностей:
Застосуємо наведену вище теорему з теорії матриць, припускаючи
А = Δ Z і приймаючи, що власні числа цієї матриці задовольняють нерівності |λk|<1. Тоді одержимо:
Підставивши останнє співвідношення на закінчення згаданої теореми, одержимо: