Регресійний аналіз інтервальних даних (стр. 4 из 6)

Для подальшого аналізу знадобиться допоміжне твердження. Виходячи із припущень 1-3, доведемо, що:

Доведення. Справедлива рівність

де

- спроможні і незміщені оцінки дисперсій і коефіцієнтів коваріації, тобто

тоді

де

Інакше кажучи, кожен елемент матриці, позначеної як о(1/n), є нескінченно малою величиною порядку 1/n. Для розглянутого випадку cov(x) = E, тому

Припустимо, що n досить велике і можна вважати, що власні числа матриці о(1/n) менше одиниці по модулю, тоді

що і було потрібно довести.

Підставимо доведене асимптотичне співвідношення у формулу для приросту

*,одержимо

Виразимо Δ

* відносно приросту ΔХ, ΔY до 2-гo порядку

Перейдемо від матричної до скалярної форми, опускаючи індекс (R):

Будемо шукати max(|Δ

_k*|) по Δx_ij і Δy_i (i=1,…, п;j=1,…, m). Для цього розглянемо всі три раніше введених типи обмежень на похибки виміру.

Тип 1 (абсолютні похибки виміру обмежені). Тоді:

Тип 2 (відносні похибки виміру обмежені). Аналогічно одержимо:

Тип З (обмеження накладені на суму похибок). Припустимо, що |Δ

_k*| досягає максимального значення при таких значеннях погрішностей Δx_ij і Δy_i,

які ми позначимо як:

тоді:

Через лінійність останнього вираження і виконання обмеження типу 3:

Для спрощення запису зробимо наступні заміни:

Тепер для досягнення поставленої мети можна сформулювати наступне завдання, що розділяється на m типових завдань оптимізації:

при обмеженнях

Перепишемо функції, що мінімізуємо, в наступному вигляді:

Очевидно, що f_i^k > 0.

Легко бачити, що

Отже, необхідно вирішити nm завдань

при обмеженнях "типу рівності":

Сформульоване завдання пошуку екстремуму функції. Воно легко вирішується. Оскільки

то максимальне відхилення МНК - оцінки k-ого параметра дорівнює

3.3 Парна регресія

Найбільш простий і одночасно найбільше широко застосовуваний окремий випадок парної регресії розглянемо докладніше. Модель має вигляд

(3.3.1)

Тут x_i - значення фактора (незалежної змінної),

- значення відгуку (залежної змінної),

- статистичні похибки, - невідомі параметри, оцінювані методом найменших квадратів. Модель (3.3.1) може бути записана у вигляді:

(3.3.2)

якщо покласти

Природно прийняти, що похибки факторів описуються матрицею

У розглянутій моделі інтервального методу найменших квадратів

де X,

- спостережувані значення фактора і відгуку, X_R, y_R - істині значення змінних, - погрішності вимірів змінних. Нехай - оцінка методу найменших квадратів, обчислена за спостережуваним значенням змінних, - аналогічна оцінка, знайдена за істинним значенням. Відповідно до раніше проведених міркувань

(3.3.3)

з точністю до нескінченно малих більш високого порядку по

і . У формулі (3.3.3) використане позначення . Обчислимо праву частину в (3.3.3), виділимо головний лінійний член і знайдемо нотну.

Легко бачити, що

(3.3.4)

де підсумовування проводиться від 1 до n. Для спрощення позначень надалі і до кінця дійсного пункту не будемо вказувати ці межі підсумовування. З (3.3.4) випливає, що

(3.3.5)

Легко підрахувати, що

(3.3.6)

Покладемо

Тоді знаменник в (3.3.5) дорівнює

. З (3.3.5) і (3.3.6) випливає, що

(3.3.7)

Тут і далі опустимо індекс і, по якому проводиться підсумовування. З (3.3.5) і (3.3.7) випливає:

(3.3.8)

де

Обчислимо основний множник в (3.3.3)

(3.3.9)

де

Перейдемо до обчислення другого члена з

в (3.3.3). Маємо

(3.3.10)

де

Складаючи праві частини (3.3.9) і (3.3.10) і помножуючи на у, одержимо остаточний вид члена з

в (3.3.3):

(3.3.11)

де

Для обчислення нотни виділимо головний лінійний член. Спочатку знайдемо частинні похідні. Маємо

(3.3.12)

Якщо обмеження мають вигляд

то максимально можливе відхилення оцінки а* параметра а через погрішності

таке:

(3.3.13)