Редуцированные полукольца (стр. 4 из 4)

Докажем теперь единственность такого первичного идеала. Пусть P¢- произвольный минимальный первичный идеал в S, отличный от Q и лежащий в M. Тогда OP¢= OM(по условию 4)). Также OP¢ = P¢ .

Тогда получили равенство Q= OQ = OM= OP¢= P¢ . Единственность доказана.

Так как все первичные идеалы полукольца S содержатся в MÎMaxS, то мы получили, что каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал.

5)Þ6). Пусть ab = 0, но Anna + Annb¹S для некоторых a, bÎS.

Тогда Anna + AnnbÍM для подходящего MÎMaxS.

Рассмотрим единственный минимальный первичный идеал P, содержащийся в M. ТогдаOMÍP (Лемма 2). Предположим, что $aÎP \ OM. Степени элемента aобразуют m-систему (0 Ï{a

}, 1Î{a } и для "a ,a Î{a } $с = 1ÎS: a сa = a Î{ a }),не пересекающуюся с OM. Действительно, еслиa ÎOM, nÎN, то a b = 0 для некоторого bÎS \ M. Но тогда (ab) = 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое и значит ab = 0, то есть aÎOM; противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P¢ OM, не содержащий a, который будет первичным.

Пустьq, wÎS \ Pиq, wÎS \ P¢. Тогда $sÎS: qswÏPÞqswÏPÇP¢ÞPÇP¢-первичный идеал, что противоречит минимальности P. ЗначитPÍOM и P = OM. Первичный идеалOM псевдопрост, поэтому aÎOM или bÎOM. Откуда по определению нуль-компонент Anna

MÚAnnb MÞAnna + Annb MÞ противоречие ÞAnna + Annb = S.

6)Þ1). Возьмём"a, bÎS: ab = 0 ÞbÎAnn aS.

Из условия 6) данной теоремы вытекает равенство:

Anna + Annb = S. Так как в симметрическом полукольце AnnaS= Anna, то AnnaS + Annb = S. Таким образом, полукольцо S-слабо риккартово, что и требовалось доказать.

2)Û6). Пустьa, bÎSиab = 0. D(a) ÇD(b) = {PÎSpec S: aÏPÙbÏP} = { PÎSpec S: abÏP} (всилупервичности) = D(ab) = D(0) = Æ.

Обратно, D(a) ÇD(b) ={PÎSpec S: aÏPÙbÏP} ={PÎSpec S: abÏP}=D(ab) =ÆÞab = 0, таккакD(x) = ÆÛx = 0.

Таким образом, ab = 0 ÛD(a) ÇD(b) = Æ.

Так как S – симметрическое полукольцо на основании предложения 1, то к нему можно применить предложение 6, то есть S строго полупервично. По следствию 2 S является и полупервичным. Теперь мы можем применить лемму 4. На основании этой леммы

= {SÎSpec S: Ann aÍPÙAnn bÍP} = Æ.

ТогдаAnn a + Ann b Mдля"MÎMax SÍSpec SÞAnn a + Ann b = S.

Вдругуюсторону, пустьAnn a + Ann b = S ÞAnn a M ÚAnn b MдляподходящегоMÎMax SÍSpec S.

Тогда

= {S ÎSpec S: Ann a ÍPÙAnn b ÍP} = Æ. Таким образом, условия 2) и 6) равносильны.

Теорема доказана полностью.

Cвойство:

Если редуцированное полукольцо S слабо риккартово, то для любого правого идеала A и элементов a, b полукольца S выполняется импликация:

ab = 0 и a+ b Î A Þ a Î A.

Доказательство: Пусть даны в S правый идеал A и такие элементы a и b, что ab = 0 и a+ bÎA. Так как условие 6) доказанной теоремы равносильно тому, что S слабо риккартово, то мы можем доказать это свойство, исходя из него. Тогда Anna + Annb = S, то есть c + k = 1 при некоторых cÎAnnaи kÎAnnb.

cÎAnnaÞac = 0 (по определению аннулятора).

kÎAnn bÞbk = 0.

a = a×1 + 0 = a×(c + k) + bk = ac + ak + bk = ac + (a + b)×k = (a + b)×kÎA.

Получили aÎA, что и нужно было доказать.

Литература.

1. Е.М. Вечтомов. «Функциональные представления колец». – М.: МПГУ им. Ленина, 1993. – 190 с.

2. В.В.Чермных. «Полукольца». Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. - 131 с.