Редуцированные полукольца (стр. 1 из 4)

Министерство Образования Российской Федерации

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

«Редуцированные полукольца»

Работу выполнил студент

математического факультета

\Подпись\____________

Научный руководитель:

К.физ.-мат. наук

.

\Подпись\____________

Рецензент:

Д. физ.-мат. наук,профессор

.

\Подпись\____________

Допущен к защите в ГАК

Зав. кафедрой ___________________.

«___»________________

Декан факультета _______________.

«___»________________

Киров, 2003.

План.

1. Введение.

2. Основные понятия, леммы и предложения.

3. Доказательство основной теоремы.

1.Введение

Определение 1. Непустое множество S с бинарными операциями + и × называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

1. (S, +) - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

2. (S, ×) - полугруппа с нейтральным элементом 1;

3. умножение дистрибутивно относительно сложения:

a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc

длялюбыхa, b, c Î S;

4. 0a = 0 = a0длялюбогоaÎ S.

Итак, по принятому нами определению полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей отсутствием операции вычитания и именно это вызывает основные трудности при работе с полукольцами.

В настоящей работе рассмотрен такой класс полуколец, как редуцированные полукольца.

Определение 2. Полукольцо S называется редуцированным, если для любых a, bÎS выполняется a = b, как только a

+ b

= ab + ba.

Целью данной работы является доказательство следующей теоремы.

Теорема .Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

1. S слабо риккартово;

2. " a, bÎS (D(a)ÇD(b)=ÆÞ

=Æ);

3. все идеалы Op, PÎSpecS, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);

4.

все идеалы OM, MÎMaxS, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и PÍMÞOp=OM для "PÎSpecS и MÎMaxS;

5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

6. " a, bÎ S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);

Эта теорема обобщает факты, доказанные в классе колец ([1]).

2.Основные понятия, леммы и предложения

Для доказательства нашей теоремы нам потребуется определить некоторые понятия и вывести несколько фактов.

Определение 3. Полукольцо S называется симметрическим, если для любых элементов a, b, b¢,cÎS выполняется

abc = ab¢c Û acb = acb¢.

Определение 4. Элемент aÎS называется нильпотентным, если в последовательности a, a

, a

,…, a

, … встретится нуль.

Предложение 1.Редуцированное полукольцо S является симметрическим полукольцом без нильпотентов.

Доказательство: Пусть ab = ab¢. Тогда

baba = bab¢a иb¢aba = b¢ab¢a,

откуда

baba + b¢ab¢a = bab¢a + b¢aba

или иначе

(ba)

+ (b¢a) = bab¢a + b¢aba.

В силу редуцированности ba = b¢a, т.е.

ab = ab¢Þba = b¢a. (1)

Аналогично доказывается ba = b¢aÞab = ab¢.

Пусть ab = ab¢. Тогда с помощью (1) ba = b¢a, откуда bac = b¢ac и acb = acb¢. Значит, имеем:

ab = ab¢Þ acb = acb¢, ba = b¢aÞbca = b¢ca. (2)

Пусть сейчас abc = abc¢. Тогда

abc= ab¢cÞacbc = acb¢cÞacbac=acb¢acÞacbacb=acb¢acbи

acbacb¢= acb¢acb¢Þ (acb)

+ (acb¢)

= acb¢acb+ acbacb¢Þacb = acb¢.

Таким же образом доказывается другая импликация.

Пустьa

+ b = ab + baвлечётa = b. Приb = 0 получаемa = 0 Þa = 0. Если с = 0 для некоторого натурального n> 2, то c = 0 для kÎN с условием n£ 2 . Получаем, что c = 0, и так далее. На некотором шаге получим c = 0, откуда с = 0. Предложение доказано.

Пример. Рассмотрим полукольцо S= {0, a, b, 1}, операции в котором заданы следующим образом:

+	a b 1
ab1	a b 1b b b 1 b 1

·	a b 1
ab1	a a ab b ba b 1

Пример этого полукольца показывает, что, во-первых, в определении симметричности полукольца импликации нужны в обе стороны, поскольку aa= ab, но aa¹ba. Во-вторых, S– полукольцо без нильпотентов, более того, без делителей нуля; однако симметрическим, в частности, редуцированным, оно не является. В этом проявляется отличие от колец, поскольку известно, что отсутствие нильпотентов в кольце влечёт кольцевую симметричность.

Определение 5. Собственный двусторонний идеал P полукольца S называется первичным, если ABÍP влечёт AÍP или BÍP для любых идеалов A и B. Первичный идеал коммутативного полукольца называется простым.

Определение 6. Правый идеал P полукольца S называется псевдопростым, если ab = 0 влечёт aÎP или bÎP для "a, bÎS.

Предложение 2. Идеал Pполукольца S первичен тогда и только тогда, когда для любых элементов a, bÎS \ P найдётся элемент sÎS такой, что asbÏP. Если S- коммутативное полукольцо, то идеал P прост тогда и только тогда, когда a, bÏP влечёт abÏP.

Доказательство: Пусть P первичен и элементы a, bÏP. Тогда главные идеалы (a) и (b) не лежат в P, как и их произведение. Значит, некоторый элемент tÎaSb не принадлежит P, поскольку t =

для некоторых u

,v

,w

ÎS, то хотя бы для одного iÎ {1,…,k} av

bÏP, ибо в противном случае каждое слагаемое u

av

bw

лежит в P, и следовательно, tÎP.

Обратно. Пусть произведение идеалов A и B лежит в P, но A

P. Тогда найдётся aÎA \ P. Предположим, что B P. Получим, что некоторый элемент bÎB \ P и по условию asbÏP для подходящего sÎS. Но тогда и AB P, и следовательно, P- первичный идеал.