Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными (стр. 1 из 2)
Задача 1
Решить систему линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса
Решение:
1) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Крамера
Определитель системы D не равен нулю. Найдем вспомогательные определители D1, D2, D3, если они не равны нулю, то решений нет, если равны, то решений бесконечное множество
Система 3 линейных уравнений с 3 неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:
Ответ: получили решение: 
2) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Гаусса
Составим расширенную матрицу системы
Примем первую строку за направляющую, а элемент а11 = 1 – за направляющий. С помощью направляющей строки получим нули в первом столбце.
Матрице 
соответствует множество решений системы линейных уравнений 
Ответ: получили решение: 
Задача 2
Даны координаты вершин треугольника АВС
Найти:
1) длину стороны АВ;
2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01
4) уравнение медианы АЕ;
5) уравнение и длину высоты CD;
6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;
7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В
Построить заданный треугольник и все линии в системе координат.
А(1; -1), В(4; 3). С(5; 1).
Решение
1) Расстояние между точками А(х1; у1) и В(х2; у2) определяется по формуле
воспользовавшись которой находим длину стороны АВ;
2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости А(х1; у1) и В(х2; у2) имеет вид
Подставляя в (2) координаты точек А и В, получаем уравнение стороны АВ:
Угловой коэффициент kАВ прямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx - b.
У нас
, то есть 
откуда 
Аналогично получим уравнение прямой ВС и найдем ее угловой коэффициент.
Подставляя в (2) координаты точек В и С, получаем уравнение стороны ВС:
Угловой коэффициент kВС прямой ВС найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx - b.
У нас
, то есть 
3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01
Для нахождения внутреннего угла нашего треугольника воспользуемся формулой:
Отметим, что порядок вычисления разности угловых коэффициентов, стоящих в числителе этой дроби, зависит от взаимного расположения прямых АВ и ВС.
Подставив ранее вычисленные значения kВС и kАВ в (3), находим:
Теперь, воспользовавшись таблицами инженерным микрокалькулятором, получаем В » 1,11 рад.
4) уравнение медианы АЕ;
Для составления уравнения медианы АЕ найдем сначала координаты точки Е, которая лежит на середине отрезка ВС
Подставив в уравнение (2) координаты точек А и Е, получаем уравнение медианы:
5) уравнение и длину высоты CD;
Для составления уравнения высоты CD воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку М(х0; у0)с заданным угловым коэффициентом k, которое имеет вид
и условием перпендикулярности прямых АВ и CD, которое выражается соотношением kABkCD = -1, откуда kCD = -1/kAB = - 3/4
Подставив в (4) вместо k значение kСD = -3/4, а вместо x0, y0 ответствующие координаты точки С, получим уравнение высоты CD
Для вычисления длины высоты СD воспользуемся формулой отыскания расстояния d от заданной точки М(х0; у0) до заданной прямой с уравнением Ax+ By + С = 0 , которая имеет вид:
Подставив в (5) вместо х0; у0 координаты точки С, а вместо А, В, С коэффициенты уравнения прямой АВ, получаем
6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;
Так как искомая прямая EF параллельна прямой АВ, то kEF = kAB = 4/3. Подставив в уравнение (4) вместо х0; у0 координаты точки Е, а вместо k значение kEF получаем уравнение прямой EF'.
Для отыскания координат точки М решаем совместно уравнения прямых EF и CD.
Таким образом, М(5,48; 0,64).
7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В
Поскольку окружность имеет центр в точке Е(4,5; 2) и проходит через вершину В(4; 3), то ее радиус
Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке М0(х0; у0) имеет вид
Имеем
Треугольник АВС, высота СD, медиана AE, прямая EF , точка M и окружность построенная в системе координат x0у на рис.1.
Рис. 1
Задача 3
Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (2; 5) равно расстоянию до прямой у = 1. Полученную кривую построить в системе координат
Решение
Пусть М (x, у) - текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр MB на прямую у = 1 (рис.2). Тогда В(х; 1). Так как МА = MB , то
Pиc. 2
Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке С(5; -1,5) и ветвями, направленными вверх (см. рис 2).
Задача 4
Найти указанные пределы:
а) 
Ответ:
б)
Ответ:
Задача 5
Найти производные dy/dx, пользуясь правилами и формулами дифференцирования