Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка (стр. 3 из 5)
Если вся входная строка разобрана, а в стеке еще остаются знаки операций, извлекаем их из стека в выходную строку.
Согласно этим правилам создан модуль ”Unit3.cpp”, содержащий функцию преобразования строки в обратную польскую запись OPZ (блок 3 в блок-схеме алгоритма), алгоритм которой приведён в приложении. В данном модуле использованы также вспомогательные функции PUSH, PRIOR, DEL. Функция PUSH записывает в стек, на вершину которого указывает HEAD, символ a. Возвращает указатель на новую вершину стека. Функция PRIOR вычисляет приоритет текущего символа, естественно, лишь в том случае, если текущий символ – математическая операция. Функция DEL удаляет символ с веpшины стека. Возвpащает удаляемый символ. Изменяет указатель на веpшину стека.
Для работы с полученной обратной польской записью создана функция(блок 4), организованная в виде подключаемого модуля “Unit5.cpp”. Блок-схема данной функции приведена в приложении. На начальном этапе (блоки 1-13) в цикле анализируется строка, содержащая обратную польскую запись. Если символ ранее задекларирован (‘x’,’u’,’v’,’e’,’1’..’9’), то его значение заносится в текущий элемент массива th. На следующем этапе (блоки 14-29) осуществляется «обратный ход» польской нотации: анализируется каждый символ строки, и если этот символ ранее задекларирован, то его значение помещается в стек (блоки 15-17). В случае, если текущий символ – знак математической операции , то из стека извлекаются последние два элемента и с ними проводится указанная операция. Результат заносится на вершину стека. Стек в функции реализован в виде однонаправленного массива типа double. Функция возвращает первый элемент стека.
5. Описание программы
После проведённого обзора программных средств для разработки данного программного продукта, была выбрана среда BorlandC++ Builder. Язык С++ хорошо зарекомендовал себя эффективностью, лаконичностью записи алгоритмов, логической стройностью программы, хорошей переносимостью. Программы, написанные на языке С++, сравнимы по скорости с программами, написанными на языке ассемблера; при этом они более наглядны и просты в сопровождении. Среда BorlandC++ Builder является средством быстрой разработки windows-приложений, позволяющее создавать приложения на языке С++, используя среду разработки и библиотеку компонентов Delphi.
Готовая программа представляет собой исполняемый файл с именем “Adams3.exe”, реализованный в виде Widows-приложения в среде BorlandC++ Builder. После запуска программы на рабочем окне появляется рабочее окно с заголовком «Решение систем дифференциальных уравнений» ( см. Приложение 3, рис.1). В активном окне можно выделить следующие области:
1) Область ввода исходных данных.
2) Окно вывода результатов.
3) Поле отображения графиков полученных функций, являющихся
решением заданной системы, и графиков истинного решения.
4) Основное меню.
1) Область исходных данных содержит поля, в которые требуется ввести начальные данные: систему дифференциальных уравнений; интервал, на котором требуется найти решение заданной системы; допустимую погрешность; условия Коши в начальной точке заданного интервала; количество шагов “сетки” и шаг вывода полученных значений искомых функций в узлах сетки.
В поля ”du/dx= “ и “dv/dx= “ вводятся дифференциальные уравнения, содержащие символы, ‘u’, ‘v’ ‘x’, ‘e’, ’1’..’9’, ’+’, ’-‘, ‘*’, ‘/’, ‘^’, ‘(‘, ‘)’. Здесь: символы ‘u’ и ‘v’ представляют собой искомые функции, символ ‘e’ является основанием натурального логарифма, символ ‘^’ обозначает операцию возведения в степень. Использование других символов нежелательно, так как они будут проигнорированы программой.
Поля с заглавием «интервал [a;b]» содержат начальную и конечную точку промежутка, на котором будет найдено решение заданной системы.
В поле «количество шагов сетки» требуется ввести целое число, равное количеству точек по оси OX на заданном интервале, в которых ищем значения функций u(x) и v(x).
Поле «шаг вывода» содержит целое число, определяющее частоту вывода на экран результатов из множества результатов во всех узлах заданной сетки.
Поля под общим названием «начальные условия» содержат условия Коши – значения искомых функций в начале заданного интервала [a,b].
Для корректной работы программы все поля должны быть заполнены. При запуске программы все вышеперечисленные поля уже содержат стандартную информацию для теста программы, которую можно изменять.
Пользователю предоставляется возможность выбора режима программы. При запуске программы метка возле надписи «Не использовать метод сгущающихся сеток» отсутствует, и программа, используя метод учащающихся сеток подберёт после первого нажатия кнопки «выполнит» оптимальное значение количества шагов для достижения заданной точности. После повторного нажатия кнопки «выполнить» будут произведены вычисления уже для рекомендуемого значения шага сетки. Если метка поставлена, то после нажатия кнопки «выполнить» будет решена задача Коши для заданного интервала, но заданная точность не будет достигнута. Данный режим позволяет вводить различные системы дифференциальных уравнений, отличных от стандартных тестовых, решением которых являются функции u(x)=2*x, v(x)=exp(x).
2) Все результаты, полученные в ходе работы программы, отображаются в отдельном окне (рис. 2). При желании, всю информацию из этого окна можно сохранить в отдельный файл.
3) Полученное решение в виде графиков искомых функций выводится в отдельное поле (рис. 2). Здесь отображаются также графики функций f(x)=2*xи f(x)=exp(x), являющихся точным решением для тестовых систем дифференциальных уравнений. Поле отображения графиков масштабируемо.
4) Основное меню содержит следующие пункты: «Файл» и «О программе» (рис. 3). В свою очередь пункт меню «Файл» содержит следующие подпункты: «новый», «открыть», «сохранить как…» и «выход».
При выборе пункта «новый» все поля и окна будут очищены. Поле отображения графиков будет также очищено.
Выбрав пункт «сохранить как…», вся информация из окна результатов будет сохранена в выбранный пользователем файл (по умолчанию с расширением .txt).
Выбор пункта «открыть» приводит к загрузке из уже сохранённого ранее файла системы дифференциальных уравнений.
Программа работает стабильно, не приводит к ошибкам.
6. Анализ результатов
Результатом работы программы “Adams3.exe” является таблица значений полученного решения в узлах заданной сетки, значений точного решения и разность между точным и полученным решениями. Данную таблицу можно сохранить в текстовый файл с возможностью дальнейшего просмотра и редактирования.
В качестве тестовой задачи была решена задача Коши при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка на интервале [2,4] с начальными условиями
:
.Точным решением данной системы являются функции:
Требовалось добиться решения системы дифференциальных уравнений с точностью до 0.0001.
Результат решения (выходной файл):
Входные данные:
du/dx= u/x+v-e^x;
dv/dx= 2*x/u+v^2/e^x-1;
Интервал: [2;4]
Допустимая погрешность: е=0,0001
Начальные условия:
u=4
v=7,389056098930650230
Количество шагов сетки: 320
Шаг вывода: 32
Результаты:
x | u(x) | точное | разн. | v(x) | точное | разн. |
2,000 4,0000 4,0000 0,0000 7,3891 7,3891 0,0000
2,200 4,4000 4,4000 0,0000 9,0250 9,0250 0,0000
2,400 4,8000 4,8000 0,0000 11,0232 11,0232 0,0000
2,600 5,2000 5,2000 0,0000 13,4637 13,4637 0,0000
2,800 5,6000 5,6000 0,0000 16,4446 16,4446 0,0000
3,000 6,0000 6,0000 0,0000 20,0855 20,0855 0,0000
3,200 6,4000 6,4000 0,0000 24,5325 24,5325 0,0000
3,400 6,8000 6,8000 0,0000 29,9641 29,9641 0,0000
3,600 7,2000 7,2000 0,0000 36,5982 36,5982 0,0000
3,800 7,6000 7,6000 0,0000 44,7012 44,7012 0,0000
4,000 8,0000 8,0000 0,0000 54,5981 54,5982 0,0000
Время выполнения: 0,015с
Как видно из полученного результата, точность в 0.0001 достигается уже при количестве шагов, равном 320. Время. Затраченное на расчёт таблицы значений на заданном интервале составляет всего 0.015 секунд, что практически не ощутимо. Увеличение шага сетки приведёт к повышению точности решения, однако это увеличит и время работы вычислительного процесса.
Заданная точность достигается за минимальное количество итерраций (1-3 итерации).
Ниже приведен график функций полученного и точного решений:
Рис. 5.1 График полученного и точного решения
Рис. 5.2 График полученного и точного решения
Как видно из рисунков 5.1, 5.2, расхождение кривых наблюдается только при достаточно большом увеличении графика.
Предложенная задача Коши была также решена в математическом пакете “ Mathcad 11” двумя методами: методом Рунге-Кутта 5-го порядка и методом Рунге-Кутта с непостоянным шагом. Реализация решения системы дифференциальных уравнений в “ Mathcad 11” и таблицы результатов приведены ниже:
Реализация решения задачи Коши методом Рунге-Кутта 5-го порядка:
Таблица 5.1 – Результаты решения задачи Коши методом Рунге-Кутта 5-го порядка.
| x | u(x) | v(x) | x | u(x) | v(x) |
| 2 | 4 | 7,3890561 | 3,1 | 6,2 | 22,19795 |
| 2,02 | 4,04 | 7,5383249 | 3,12 | 6,24 | 22,64638 |
| 2,04 | 4,08 | 7,6906092 | 3,14 | 6,28 | 23,10387 |
| 2,06 | 4,12 | 7,8459698 | 3,16 | 6,32 | 23,5706 |
| 2,08 | 4,16 | 8,0044689 | 3,18 | 6,36 | 24,04675 |
| 2,1 | 4,2 | 8,1661699 | 3,2 | 6,4 | 24,53253 |
| 2,12 | 4,24 | 8,3311375 | 3,22 | 6,44 | 25,02812 |
| 2,14 | 4,28 | 8,4994376 | 3,24 | 6,48 | 25,53372 |
| 2,16 | 4,32 | 8,6711376 | 3,26 | 6,52 | 26,04954 |
| 2,18 | 4,36 | 8,8463062 | 3,28 | 6,56 | 26,57577 |
| 2,2 | 4,4 | 9,0250135 | 3,3 | 6,6 | 27,11264 |
| 2,22 | 4,44 | 9,2073308 | 3,32 | 6,64 | 27,66035 |
| 2,24 | 4,48 | 9,3933313 | 3,34 | 6,68 | 28,21913 |
| 2,26 | 4,52 | 9,5830891 | 3,36 | 6,72 | 28,78919 |
| 2,28 | 4,56 | 9,7766804 | 3,38 | 6,76 | 29,37077 |
| 2,3 | 4,6 | 9,9741824 | 3,4 | 6,8 | 29,9641 |
| 2,32 | 4,64 | 10,175674 | 3,42 | 6,84 | 30,56941 |
| 2,34 | 4,68 | 10,381237 | 3,44 | 6,879999 | 31,18696 |
| 2,36 | 4,72 | 10,590951 | 3,46 | 6,919999 | 31,81698 |
| 2,38 | 4,76 | 10,804903 | 3,48 | 6,959999 | 32,45972 |
| 2,4 | 4,8 | 11,023176 | 3,5 | 6,999999 | 33,11545 |
| 2,42 | 4,84 | 11,245859 | 3,52 | 7,039999 | 33,78443 |
| 2,44 | 4,88 | 11,473041 | 3,54 | 7,079999 | 34,46692 |
| 2,46 | 4,92 | 11,704811 | 3,56 | 7,119999 | 35,1632 |
| 2,48 | 4,96 | 11,941264 | 3,58 | 7,159999 | 35,87354 |
| 2,5 | 4,9999999 | 12,182494 | 3,6 | 7,199999 | 36,59823 |
| 2,52 | 5,0399999 | 12,428597 | 3,62 | 7,239999 | 37,33757 |
| 2,54 | 5,0799999 | 12,679671 | 3,64 | 7,279999 | 38,09184 |
| 2,56 | 5,1199999 | 12,935817 | 3,66 | 7,319999 | 38,86134 |
| 2,58 | 5,1599999 | 13,197138 | 3,68 | 7,359999 | 39,64639 |
| 2,6 | 5,1999999 | 13,463738 | 3,7 | 7,399999 | 40,4473 |
| 2,62 | 5,2399999 | 13,735723 | 3,72 | 7,439999 | 41,26439 |
| 2,64 | 5,2799999 | 14,013204 | 3,74 | 7,479999 | 42,09799 |
| 2,66 | 5,3199999 | 14,296289 | 3,76 | 7,519999 | 42,94842 |
| 2,68 | 5,3599999 | 14,585093 | 3,78 | 7,559999 | 43,81604 |
| 2,7 | 5,3999999 | 14,879732 | 3,8 | 7,599999 | 44,70118 |
| 2,72 | 5,4399999 | 15,180322 | 3,82 | 7,639999 | 45,60421 |
| 2,74 | 5,4799999 | 15,486985 | 3,84 | 7,679999 | 46,52547 |
| 2,76 | 5,5199999 | 15,799843 | 3,86 | 7,719999 | 47,46535 |
| 2,78 | 5,5599999 | 16,119021 | 3,88 | 7,759999 | 48,42421 |
| 2,8 | 5,5999999 | 16,444647 | 3,9 | 7,799999 | 49,40245 |
| 2,82 | 5,6399999 | 16,776851 | 3,92 | 7,839999 | 50,40044 |
| 2,84 | 5,6799999 | 17,115765 | 3,94 | 7,879999 | 51,4186 |
| 2,86 | 5,7199999 | 17,461527 | 3,96 | 7,919999 | 52,45732 |
| 2,88 | 5,7599999 | 17,814273 | 3,98 | 7,959998 | 53,51703 |
| 2,9 | 5,7999998 | 18,174145 | 4 | 7,999998 | 54,59815 |
| 2,92 | 5,8399998 | 18,541287 | |||
| 2,94 | 5,8799998 | 18,915846 | |||
| 2,96 | 5,9199998 | 19,297972 | |||
| 2,98 | 5,9599998 | 19,687816 | |||
| 3 | 5,9999998 | 20,085537 | |||
| 3,02 | 6,0399998 | 20,491291 | |||
| 3,04 | 6,0799998 | 20,905243 | |||
| 3,06 | 6,1199998 | 21,327557 | |||
| 3,08 | 6,1599998 | 21,758402 |
Реализация решения задачи Коши методом Рунге-Кутта с непостоянным шагом: