Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса (стр. 2 из 3)
Тоді b1 = 2,b2 = 1,b3 = 1.
Отримали вектор
у базисі 
, 
, 
: = 2 + + .Відповідь. вектори
, , утворюють базис тривимірного векторного простору, = 2 + + .Завдання 3
Задано: координати трьох точок А, В, С. Записати рівняння сторін трикутника АВ, АС і ВС, висоти АК, знайти кут А і координати точки К.
A (0;
2), B (2;
3), С (1;
3).
Розв’язання.
рівняння АВ:
,звідси рівняння прямої АВ: х - 2у + 4=0;
рівняння АС:
,звідси рівняння прямої АС: х - у +2=0;
рівняння ВС:
,звідси рівняння прямої ВС: у = 3.
2) З урахуванням перпендикулярності прямої ВС і висоти АK нормальний вектор прямої ВС є напрямним прямої АК:
(0;1) - нормальний вектор прямої ВС,
(0;1) - напрямний вектор прямої АК. Напишемо рівняння цієї прямої, враховуючи, що їй належить т. А (0;
2) -
=0х = 0 - рівняння прямої АК.
3) кут А - гострий кут між прямими АВ і АС:
∟A = ∟BAK - ∟CAK,
де ∟BAK = arctg (BK / AK) = arсtg (2/1) = arсtg 2,∟CAK=arctg (CK / AK) = arctg (1/1) =
,тому ∟ A = arctg 2 -
.4) Знайдемо точку К - точку перетину висоти АК і прямої ВС, тобто координати т. К є розв’язком системи рівнянь даних прямих:
Маємо: К (0;
3).
Відповідь. (АВ): х - 2у + 4=0, (АС): х - у +2=0;
(ВС): у = 3;
(АК): х=0;
∟ A = arctg 2 -
;К (0;3).
Завдання 4
Знайти границі функцій (не використовуючи правило Лопіталя):
а)
;б)
;в)
Розв’язання:
а) Коли x прямує до нескінченності, молодшими степенями x можна нехтувати:
= 
= 
=-3;б) Здійснимо заміну змінних y = x - 2:
= 
= - 
,розпишемо синус за допомогою формули Тейлора:
sin у = y -
+…Тоді:
= - 
= - 
= - 
1 - (- 
) +…=-1+0+…=-1;в) Скористаємося визначенням числа e:
е =
і здійснимо заміну змінних y = - 2x - 1:
= 
= 
= = 
= = е2.Відповідь. - 3; - 1; е2.
Завдання 5
Знайти похідну функції:
у = еsin x ln x
Розв’язання.
Скористаємося формулою диференціювання добутку і складної функції:
.Відповідь.
.Завдання 5
Дослідити функцію методами диференціального числення і побудувати її графік. Досліджувати функцію рекомендується за такою схемою:
1) знайти область визначення й область зміни функції;
2) дослідити функцію на неперервність, знайти точки розриву функції (якщо вони існують) і точки перетину її графіка з осями координат;
3) знайти інтервали зростання і спадання функції і точки її локального екстремуму;
4) знайти інтервали опуклості й угнутості графіка функції та точки перегину;
5) знайти асимптоти графіка функції.
у =
.Розв’язання.
1) Область визначення - вся числова вісь за винятком x = - 3 и x = +3, коли знаменник перетворюється в нуль:
х є (-∞; - 3) U (-3; +3) U (+3; +∞),
область значень функції - вся числова вісь за виключенням y = 0: у є (-∞; 0) U (0; +∞).
2) Точки розриву x = - 3 и x = +3, коли знаменник перетворюється в нуль;
функція перетинає вісь y при х = 0, у = -
.3) Інтервали зростання і спадання функції і точки її локального екстремуму:
знайдемо похідну функції:
,похідна додатна при x < 0, тому функція при x <0 зростає,
похідна від’ємна при x > 0, тому функція при x > 0 спадає,
похідна дорівнює 0 при x = 0, тому функція при x = 0 досягає локального екстремуму;
знайдемо другу похідну функції:
,друга похідна дорівнює -
при x = 0, тобто від’ємна, тому даний локальний екстремум - це локальний максимум.4) Знайдемо інтервали опуклості й угнутості графіка функції та точки перегину:
друга похідна додатна в інтервалах (-∞; - 3), (+3; +∞), тому в них функція випукла вниз;
друга похідна від’ємна в інтервалі (-3; +3), тому в ньому функція випукла вгору;
відповідно, точки x = - 3 и x = +3 - точки перегину
5) Знайдемо асимптоти графіка функції:
при х→-∞ і х→+∞ функція прямує до нуля, тому пряма y = 0 - горизонтальна асимптота;
точки x = - 3 и x = +3, коли знаменник перетворюється в нуль, визначає дві вертикальні асимптоти.
6) Побудуємо графік функції:
Відповідь.1) х є (-∞; - 3) U (-3; +3) U (+3; +∞), у є (-∞; 0) U (0; +∞);
2) точки розриву x = - 3 и x = +3;
функція перетинає вісь в т. (0; - );