Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гауса (стр. 2 из 5)
У загальному випадку для системи т лінійних рівнянь з п невідомими проводяться аналогічні перетворення. На кожному кроці виключається одне з невідомих зі всіх рівнянь, розташованих нижче провідного рівняння.
Звідси інша назва методу Гауса – метод послідовного виключення невідомих.
Якщо в ході перетворень системи виходить суперечливе рівняння вигляду 0 = b, де b ¹ 0, то це означає, що система несумісна і розв’язків не має.
У разі сумісної системи після перетворень по методу Гауса, складових прямий хід методу, система т лінійних рівнянь з п невідомими буде приведена або до трикутного або до ступінчастого вигляду.
Трикутна система має вигляд:
Така система має єдине рішення, яке знаходиться в результаті проведення зворотного ходу методу Гауса.
Ступінчаста система має вигляд:
Така система має незліченну множину розв’язків. Щоб знайти їх, у всіх рівняннях системи члени з невідомими хk+1., xk переносять в праву частину. Ці невідомі називаються вільними і надають їм довільні значення. З отриманої трикутної системи знаходимо х1., xk, які виражатимуться через вільних невідомих.
1.2 Компактна схема Гауса
Якщо обчислення по схемі єдиного ділення ведуться за допомогою обчислювальних машин, то багато часу затрачається на запис проміжних результатів. Компактна схема Гауса дає економний спосіб запису. Розглянемо порядок складення схеми для системи:
Всі результати обчислення будемо записувати в одну таблицю (Таблиця 1)
Компактна схема Гауса. Таблиця 1.
Порядок заповнення таблиці.
Прямий хід.
1) Записуємо коефіцієнти даної системи в чотирьох рядках і п’яти стовпцях розділу І таблиці 1.
2) Додаємо всі коефіцієнти по рядку і записуємо суму в стовпчик
(стовпчик контролю), наприклад 
.3) Ділимо всі числа, які стоять в першому рядку, на
і результати 
записуємо в п’ятому рядку розділу І.4) Обчислюємо
і робимо перевірку. Якщо обчислення ведуться з постійним числом знаків після коми, то числа 
і не повинні відрізнятися не більше ніж на одиницю останнього розряду. В іншому випадку потрібно перевірити дії пункту 3).5) По формулам (2.4) обчислюємо коефіцієнти:
Результати записуємо в перші три рядки розділу ІІ.
6) Робимо перевірку. Сума елементів кожного рядка
не повинна відрізнятися від 
більше чим на одиницю останнього розряду (якщо всі обчислення ведуться з постійним числом знаків після коми).7) Ділимо всі елементи першого рядка розділу ІІ на
і результати записуємо в четвертому рядку розділу ІІ.8) Робимо перевірку, як в пункті 4).
9) За формулами (2.7) обчислюємо
Результати записуємо в перші два рядки розділу ІІІ.10) Робимо перевірку, як в пункті 6).
11) Ділимо елементи першого рядка розділу ІІІ на
і знаходимо числа 
. Всі результати записуємо в третьому рядку розділу ІІІ.12) Робимо перевірку.
13) Обчислюємо
. Результати записуємо в розділі IV.Обернений хід.
1) В розділі V записуємо одиниці, як це показано в таблиці 1.
2) Обчислюємо
3) Для обчислення значення
використовуємо лише рядки розділів І, ІІ, ІІІ, що містять одиниці, починаючи з останньої. Так, для обчислення 
помножимо 
на 
і результати віднімаємо з 
. При цьому одиниці, розставлені в розділі V, допомагають знаходити для 
відповідні коефіцієнти в помічених рядках.Таким чином,
.4) Обчислюємо
, для чого використовуємо елементи поміченого рядка розділу ІІ: 
5) Обчислюємо
, для чого використовуємо елементи поміченого рядка розділу І: 
Аналогічно проводиться обернений хід в контрольній системі. Розв’язок цієї системи повинен відрізнятися від розв’язку даної системи на 1 (з точністю до одиниці останнього розряду):
Цей контроль здійснюється за допомогою стовпця
Таким же чином реалізується компактна схема Гауса для систем з іншим числом невідомих. Компактна схема Гауса особливо потрібна при одночасному розв’язанні декількох систем, які відрізняються лише стовпцями вільних членів, що має місце, наприклад, при обчисленні елементів оберненої матриці.
Компактна схема Гауса для системи (2.12). Таблиця 2.
1.3 Метод Гауса з вибором головного елемента
1. Основна ідея методу. Може трапитись, що система
Ax=f (1)
де A - матриця m*m, x = (x1, x2...,xm) - шуканий вектор
f =(f1, f2..., fm) -заданий вектор.
має єдиний розв’язок, хоча який-небудь з кутового мінору матриці А рівний нулю. В цьому випадку звичайний метод Гауса виявляється непридатним, але може бути застосований метод Гауса з вибором головного елементу.
Основна ідея методу полягає в тому, щоб на черговому кроці виключати не наступне по номеру невідоме, а те невідоме, коефіцієнт при якому є найбільшим по модулю. Таким чином, як провідний елемент тут вибирається головний, тобто найбільший по модулю елемент. Тим самим, якщо
, то в процесі обчислень не відбуватиметься ділення на нуль.Різні варіанти методу Гауса з вибором головного елементу проілюструємо на прикладі системи з двох рівнянь:
(2) 
Припустимо, що
. Тоді на першому кроці виключатимемо змінне 
. Такий прийом еквівалентний тому, що система (2) переписується у вигляді: 
(3) 
і до (3) застосовується перший крок звичайного методу Гауса. Вказаний спосіб виключення називається методом Гауса з вибором головного елементу по рядку. Він еквівалентний застосуванню звичайного методу Гауса до системи, в якій на кожному кроці виключення проводиться відповідна перенумерация змінних.
Застосовується також метод Гауса з вибором головного елементу по стовпцю. Припустимо, що
. Перепишемо систему (2) у вигляді:
і до нової системи застосуємо на першому кроці звичайний метод Гауса. Таким чином, метод Гауса з вибором головного елементу по стовпцю еквівалентний застосуванню звичайного методу Гауса до системи, в якій на кожному кроці виключення проводиться відповідна перенумерация рівнянь.
Іноді застосовується і метод Гауса з вибором головного елементу по всій матриці, коли як ведучий вибирається максимальний по модулю елемент серед всіх елементів матриці системи.
2. Матриці перестановок. Раніше було показано, що звичайний метод Гауса можна записати у вигляді:
