Розрахунок типових задач з математичної статистики (стр. 1 из 4)
Міністерство освіти і науки України
Національний технічний університет
„Харківський політехнічний інститут"
Курсова робота
з курсу:
„Теорія імовірностей та математична статистика”
по темі: "Розрахунок типових задач з математичної статистики"
Харків 2007
Анотація
У виконаному курсовому проекті наведено огляд теоретичних відомостей з курсу Теорії ймовірностей та математичної статистики, окреслено послідовність виконання типових завдань з Теорії ймовірностей. І також виконано розрахунок типової задачі з визначення законів розподілення випадкових величин.
Зміст
1. Теорія імовірностей та математичної статистики
1.1 Основні закони розподілення випадкових величин
1.2 Числові характеристики дискретних випадкових величин
2. Види типових задач з математичної статистики
3. Загальна методика розв‘язання типових задач
3.1 Обчислити значення критерію збіжності Пірсона
3.2 Зробити висновок про вірність висунутої гіпотези H0
4. Приклад розв'язку типової задачі
Висновки
Список літератури
1. Теорія імовірностей та математичної статистики
1.1 Основні закони розподілення випадкових величин
Дискретною називають випадкову величину, можливі значення якої є окремі ізольовані числа (тобто між двома сусідніми можливими значеннями немає інших), котрі ця величина приймає з певними ймовірностями.
Іншими словами, можливі значення випадкової величини можна пронумерувати. Кількість можливих значень випадкової величини може бути кінцевою або нескінченною (в останньому разі множину усіх можливих значень називають ліченою).
Законом розподілення дискретної випадкової величини називають перелік її можливих значень та відповідних до них ймовірностей.
Закон розподілення дискретної випадкової величини Х може бути задано у вигляді таблиці, перший рядок якої утримує можливі значення xi, а другий - імовірності pi
| X | x1 | x2 | … | xn |
| p | p1 | p2 | … | pn |
причому
.Якщо множина можливих значень х нескінчена, то ряд р1 + р2 + … сходиться й його сума дорівнює одиниці.
Закон розподілення випадкової дискретної величини Х може бути подано також в аналітичній формі (у вигляді формули)
P (X=xi) =xi),
або за допомогою функції розподілення імовірності
F (xi) =P (X<xi).
Біноміальним називають закон розподілення дискретної випадкової величини Х - кількості появ результатів у n незалежних випробуваннях, в кожному з яких імовірність появи результату дорівнює p; імовірність можливого значення Х=k (числа k появ результату) обчислюють за формулою Бернуллі:
.Якщо кількість випробувань значна, а імовірність р появи результату в кожному випробуванні дуже мала, то використовують наближену формулу
,де k - кількість появи результату в n незалежних випробуваннях, np (середнє число появ результату в n випробуваннях), і кажуть, що випадкова величина розподілена за законом Пуассона.
1.2 Числові характеристики дискретних випадкових величин
Характеристикою середнього значення даної випадкової величини є математичне очікування.
Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму добутків усіх її можливих значень на їх імовірності:
M [X] = x1p1 + x2p2 + … + xnpn
Якщо дискретна випадкова величина приймає лічену множину значень, то
,математичне очікування існує, якщо ряд в правій частині рівності сходиться абсолютно. Математичне очікування має наступні властивості: математичне очікування постійної величини дорівнює самій постійній:
M [C] = C
Постійних множник можна виносити за знак математичного очікування:
M [CX] = CM [X]
Математичне очікування взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних очікувань множників:
M [X1X2…Xn] = M [X1] *M [X2] *…*M [Xn]
Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків:
M [X1+X2+…+Xn] = M [X1] + M [X2] + … +M [Xn]
Характеристиками розсіювання випадкової величини навколо математичного очікування служать дисперсія та середнє квадратичне відхилення.
Дисперсією випадкової величини Х називають математичне очікування квадрату відхилення випадкової величини від її математичного очікування:
D [X] = M [X - M [X]] 2=M [X2] - (M [X]) 2
Дисперсія володіє наступними властивостями:
Дисперсія постійної дорівнює 0.
Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, початково піднісши його до квадрату:
D [CX] = C2D [X]
Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює
сумі дисперсій доданків:
D [X1 + X2 + … + Xn] = D [X1] + D [X2] + … + D [Xn]
Середнім квадратичним відхиленням називають квадратний корінь з дисперсії.
Функцією розподілення називають функцію F (x), що визначає для кожного значення х імовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, менше х, тобто
F (x) = P (X<x).
Досить часто замість терміну "функція розподілення" використовують термін "інтегральна функція розподілення". Функція розподілення має наступні властивості: значення функції розподілення належать відрізку [0; 1]
Функція розподілення є не спадаючою функцією:
Наслідок 1: Імовірність того, що випадкова величина Х прийме значення у інтервалі (a,b), дорівнює приросту функції на цьому інтервалі.
Наслідок 2: Імовірність того, що неперервна випадкова величина Х прийме одне визначене значення, наприклад, х1, дорівнює 0.
Якщо всі можливі значення випадкової величини Х належать інтервалу (a,b), то
Справедливі також наступні межові співвідношення:
Функція розподілення неперервна зліва:
Нормальним називають розподілення імовірностей неперервної випадкової величини Х, щільність якого має вигляд:
,де a - математичне очікування випадкової величини Х, - середнє квадратичне значення Х.
Для нормального розподілення імовірність того, що Х прийме значення, що належать інтервалу (), дорівнює
, де 
- функція Лапласа.Експоненціальним називають розподілення імовірностей неперервної випадкової величини Х, яке описується щільністю:
, де - постійна додатна величина.Функція розподілення експоненціального закону:
,а імовірність попадання у інтервал (a,b) безперервної випадкової величини Х, розподіленою за експоненціальним законом дорівнює:
.2. Види типових задач з математичної статистики
Тип 1
Ланка дослідів дала певну послідовність результатів. Вирахувати середнє значення виміряння, дисперсію, похибки, а також встановити закони розподілення результатів розрахунку [f (x), F (x)]
Тип 2
В результаті експерименту можливі n випадків. Побудувати математичну модель, що характеризує випадкову величину та побудувати закони розподілення f (x) та F (x), використовуючи результати 100 експериментів.
Тип 3
Число заявок, що надходять за 1 секунду в систему, характеризується поданими результатами. Побудувати математичну модель, що пояснює результати експериментів і вирахувати закони розподілення f (x) та F (x).
Тип 4
Час опрацювання заявок у обчислювальної системі приведено нижче (у мікросекундах). Побудувати математичну модель, що характеризує результати експериментів і розрахувати закони розподілення f (x) та F (x).
3. Загальна методика розв‘язання типових задач
Позначимо випадкову величину, закон розподілення якої підлягає визначенню, X.
Виділити найбільше та найменше значення випадкової величини X у вибірці (це потрібно для того, щоб провести розбиття діапазону зміни випадкової величини на інтервали).
Провести розбиття діапазону зміни значень випадкової величини X на інтервали. Кількість інтервалів у методі Пірсона (а саме таким ми будемо користуватися для перевірки гіпотез), взагалі, обмежена.
Таким чином, потрібно розбити весь діапазон значень X на інтервали, кількість та межі яких потрібно буде визначати.
В загальному випадку (і для безперервної випадкової величини, і для дискретної) розбиття проводять наступним чином.
Межі інтервалів можуть бути як цілими, так і дробовими. Довжина інтервалів не обмежена і залежить від частоти появи значень. Але обов’язково потрібно виконати наступну умову: кількість значень випадкової величини X, що попадають у кожний інтервал, повинна бути не менша 10. Ця умова забезпечує „хороші" (статистичний термін) результати застосування методу збіжності Пірсона.