Свойства бинарных отношений (стр. 3 из 4)

Предикат данного отношения есть просто утверждение

.

Пример 4. Рассмотрим на множестве

всех сотрудников некоторого предприятия отношение, задаваемое следующим образом: сотрудник предшествует сотруднику тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

является начальником (не обязательно непосредственным)

Назовем такое отношение "быть начальником". Легко проверить, что отношение "быть начальником" является отношением порядка. Заметим, что в отличие от предыдущего примера, существуют такие пары сотрудников

и , для которых не выполняется ни , ни (например, если и являются сослуживцами). Такие отношения, в которых есть несравнимые между собой элементы, называют отношениями частичного порядка.

2.1.3 Функциональное отношение

Определение 10. Отношение

на декартовом произведении двух множеств называется функциональным отношением, если оно обладает следующим свойством:

Если

и , то (однозначность функции).

Обычно, функциональное отношение обозначают в виде функциональной зависимости -

тогда и только тогда, когда . Функциональные отношения (подмножества декартового произведения!) называют иначе графиком функции или графиком функциональной зависимости.

Предикат функционального отношения есть просто выражение функциональной зависимости

.

2.1.4 Еще пример бинарного отношения

Пример 5. Пусть множество

есть следующее множество молодых людей: {Вовочка, Петя, Маша, Лена}, причем известны следующие факты:

Вовочка любит Вовочку (эгоист).

Петя любит Машу (взаимно).

Маша любит Петю (взаимно).

Маша любит Машу (себя не забывает).

Лена любит Петю (несчастная любовь).

Информацию о взаимоотношения данных молодых людей можно описать бинарным отношением "любить", заданном на множестве

. Это отношение можно описать несколькими способами.

Способ 1. Перечисление фактов в виде произвольного текста (как это сделано выше).

Способ 2. В виде графа взаимоотношений:

Рисунок 1 Граф взаимоотношений

Способ 3. При помощи матрицы взаимоотношений:

Таблица 1. Матрица взаимоотношений

КогоКто	Вовочка	Петя	Маша	Лена
Вовочка	Любит
Петя	Любит
Маша	Любит	Любит
Лена	Любит

Способ 4. При помощи таблицы фактов:

Таблица 2 Таблица фактов

Кто любит	Кого любят
Вовочка	Вовочка
Петя	Маша
Маша	Петя
Маша	Маша
Лена	Петя

С точки зрения реляционных баз данных наиболее предпочтительным является четвертый способ, т.к он допускает наиболее удобный способ хранения и манипулирования информацией. Действительно, перечисление фактов как текстовая форма хранения информации уместна для литературного произведения, но с трудом поддается алгоритмической обработке. Изображение в виде графа наглядно, и его удобно использовать как конечную форму представления информации для пользователя, но хранить данные в графическом виде неудобно. Матрица взаимоотношений уже больше соответствует требованиям информационной системы. Матрица удобна в обработке и компактно хранится. Но одно небольшое изменение, например, появился еще Вася и влюбился в несчастную Лену, требует перестройки всей матрицы, а именно, добавления и колонок, и столбцов. Таблица фактов свободна от всех этих недостатков - при добавлении новых действующих лиц просто добавляются новые строки.

Что касается предиката данного отношения, то он имеет следующий вид (дизъюнктивная нормальная форма):

R (x,y) = { (x = "Вовочка" AND y = "Вовочка") OR (x = "Петя" AND y = "Маша") OR (x = "Маша" AND y = "Петя") OR (x = "Маша" AND y = "Маша") OR (x = "Лена" AND y = "Петя") }

Замечание. Приведенное отношение не является ни транзитивным, ни симметричным или антисимметричным, ни рефлексивным, поэтому оно не является ни отношением эквивалентности, ни отношением порядка, ни каким-либо другим разумным отношением.

Замечание. Большая часть мировой литературы существует и имеет смысл лишь постольку, поскольку бинарное отношение "любить" не является отношением эквивалентности. В частности, по этой причине человечество не разбивается на классы эквивалентности взаимно любящих особей. Изучением характеристик данного отношения и соответствующего ему предиката занималось (и продолжает заниматься) большое количество экспертов, таких как Толстой Л.Н., Шекспир В. и др.

2.2 n-арные отношения (отношения степени n)

В математике n-арные отношения рассматриваются относительно редко, в отличие от баз данных, где наиболее важными являются именно отношения, заданные на декартовом произведении более чем двух множеств.

Пример 6. В некотором университете на математическом факультете учатся студенты Иванов, Петров и Сидоров. Лекции им читают преподаватели Пушников, Цыганов и Шарипов, причем известны следующие факты:

Пушников читает лекции по алгебре и базам данных, соответственно, 40 и 80 часов в семестр.

Цыганов читает лекции по геометрии, 50 часов в семестр.

Шарипов читает лекции по алгебре и геометрии, соответственно, 40 и 50 часов в семестр.

Студент Иванов посещает лекции по алгебре у Шарипова и по базам данных у Пушникова.

Студент Петров посещает лекции по алгебре у Пушникова и по геометрии у Цыганова.

Студент Сидоров посещает лекции по геометрии у Цыганова и по базам данных у Пушникова.

Для того чтобы формально описать данную ситуацию (например, в целях разработки информационной системы, учитывающей данные о ходе учебного процесса), введем три множества:

Множество преподавателей

= {Пушников, Цыганов, Шарипов}.

Множество предметов

= {Алгебра, Геометрия, Базы данных}.

Множество студентов

= {Иванов, Петров, Сидоров}.

Имеющиеся факты можно разделить на две группы.1 группа (факты 1-3) - факты о преподавателях, 2 группа (факты 4-6) - факты о студентах.

Для того чтобы отразить факты 1-3 (характеризующие преподавателей и читаемые ими лекции), введем отношение

на декартовом произведении , где - множество рациональных чисел. А именно, упорядоченная тройка тогда и только тогда, когда преподаватель читает лекции по предмету в количестве часов в семестр. Назовем такое отношение "Читает лекции по…". Множество кортежей, образующих отношение удобно представить в виде таблицы:

Таблица 3 Отношение "Читает лекции по…"

A (Преподаватель)	B (Предмет)	Q (Количество часов)
Пушников	Алгебра	40
Пушников	Базы данных	80
Цыганов	Геометрия	50
Шарипов	Алгебра	40
Шарипов	Геометрия	50

Для того чтобы отразить факты 4-6 (характеризующие посещение студентами лекций), введем отношение

на декартовом произведении . Упорядоченная тройка тогда и только тогда, когда студент посещает лекции по предмету у преподавателя . Назовем это отношение "Посещать лекции". Его также представим в виде таблицы: