Символ "О" - асимптотический анализ (стр. 2 из 5)
Можно строго доказать это «равенство», если взять произвольный элемент из левой части и показать, что он принадлежит правой части: пусть
таково, что 
, следует доказать, что существует такая константа С2, что 
. Константа 
решает проблему, так как 
для всех целых n.Замечание 3: Если в формуле используется несколько переменных, то символ О представляет множество функций от двух или более переменных, а не только от одной. В область определения каждой функции входят все переменные, которые в данном контексте «свободны» для изменения.
Тут есть некоторая тонкость ввиду того, что переменные могут иметь смысл лишь в части выражения, если они связаны знаком S или подобным.
Пример 4:
, целое n ³ 0. (1.1.5)Выражение k2 + O(k) в левой части отвечает множеству всех функций от двух переменных вида k2 + f(k, n), для которых найдется константа С, такая, что
для 0 £ k £ n. Сумма таких множеств функций для 0 £ k £ n есть множество всех функций g(n) вида 
,где f удовлетворяет сформулированному условию. Поскольку
то все такие функции g(n) принадлежат правой части (1.1.5); следовательно, (1.1.5) справедливо.§2. Основные соотношения
Соотношение 1:
если 
. (1.2.1)Доказательство:
Пусть
, тогда 
по свойству степени и модуля. 
, где С = 1. А по определению (1.1.2) символа О это и означает, что при . Соотношение 1 доказано.Соотношение 2:
. (1.2.2)Доказательство:
Покажем строго в соответствии с теоретико-множественным определением символа О, что левая часть является подмножеством правой части.
Любая функция из левой части имеет вид a(n)+ b(n), и существуют константы m0, B, n0, C, такие, что
и 
.Следовательно, функция в левой части
А, значит, по определению символа О левая часть принадлежит правой части. Соотношение 2 доказано.
Соотношение 3:f(n)= O(f(n)); (1.2.3)
Доказательство:
Для любой функции f(n) верно неравенство 
. 
, где С = 1. По определению символа О (1.1.2) это и означает, что f(n) = O(f(n)). Соотношение 3 доказано.
Соотношение 4:O(f(n))O(g(n))= O(f(n)g(n)); (1.2.4)
Доказательство:
Покажем в соответствии с теоретико-множественным определением символа О, что левая часть является подмножеством правой части.
В левой части функции имеют вид a(n) × b(n), такие, что существуют константы В, С, n0, m0, что
и 
.Тогда
для любого n ³ max(n0, m0,). Значит левая часть принадлежит правой части, а, следовательно, является подмножеством правой части по определению символа О. Соотношение 6 доказано.Соотношение 5:O(O(f(n)))= O(f(n)); (1.2.5)
Доказательство:
Покажем, что левая часть является подмножеством правой части.
Функция из левой части имеет вид a(n) такой, что существуют положительные константы С, В, n0, m0 такие, что
Следовательно, по определению левая часть является подмножеством правой части. Соотношение 5 доказано.
Соотношение 6: С× O(f(n))= O(f(n)), если С – константа; (1.2.6)
Доказательство:
Существует такая константа В, что
, по определению (1.1.1) С = О(1). Тогда С× O(f(n))=О(1)× O(f(n)) = (по 1.2.4) = O(f(n)).Соотношение доказано.
Соотношение 7:O(f(n)g(n))= f(n)O(g(n)). (1.2.7)
Доказательство:
Покажем, что левая часть является подмножеством правой части.
В левой части функции имеют вид a(n), такие, что существуют константы С, n0, что
.По определению символа О мы получаем верное равенство (1.2.7). Соотношение 7 доказано.
Соотношение 8:O(f(n)2)=O(f(n))2. (1.2.8)
Доказательство:
O(f(n)2)= O(f(n) · f(n))= (по 1.2.7) = f(n) · O(f(n)) = (по 1.2.3) = О(f(n)) · O(f(n)) = O(f(n))2
Соотношение доказано.
Соотношение 9:еO(f(n))= 1 + O(f(n)), если f(n) = О(1) (1.2.9)
Доказательство:
еO(f(n))= еg(n), где
. Т.к. f(n) = О(1), т.е. 
, то 
. 
. Значит еO(f(n))= 1 + O(f(n)).Соотношение доказано.
Соотношение 10: Если сумма
сходится абсолютно для некоторого комплексного числа z = z0, то 
.Доказательство:
Данное соотношение очевидно, поскольку
.Соотношение доказано.
Замечание 4: В частности, S(z) = O(1) при z ® 0 и S(1/n) = O(1) при n ® ¥ при том только условии, что S(z) сходится хотя бы для одного ненулевого значения z. Мы можем использовать этот принцип для того, чтобы, отбросив хвост степенного ряда, начиная с любого удобного места, оценить этот хвост через О. Так, например, не только S(z) = O(1), но и
S(z) = a0 + O(z), S(z) = a0 + a1z + O(z2),
и т.д., поскольку
,а последняя сумма, как и сама S(z), абсолютно сходится при z = z0 и есть О(1).
В таблице №1 приведены самые полезные асимптотические формулы [2], половина из которых получена просто путем отбрасывания членов степенного ряда в соответствии с этим правилом.
Таблица №1
Асимптотические аппроксимации, справедливые при n ®¥ и z ®
 (1.2.10) |
 (1.2.11) |
 (1.2.12) |
 (1.2.13) |
 (1.2.14) |
 (1.2.15) |
Асимптотические формулы для Hn, n! не являются начальными отрезками сходящихся рядов; если неограниченно продолжить эти формулы, то полученные ряды будут расходиться при всех n.