Символ "О" - асимптотический анализ (стр. 4 из 5)

Тогда по теореме [3]: (2.1.2)

если ряд

сходится при , тогда для фиксированного n в любом круге , где .

Ряд – 2е^-2х + 2е^-4х – 2е^-6х +… сходится при х > 0, т.е.

и его сумма равна thx - 1. Значит, по теореме: thx - 1 = О(е^-2х), т.е.
thx=О(е^-2х)+1.

Тогда x = и - thx = и – 1 + О(е^-2х) = (по 2.1.1) = и – 1 + О(О(е^-2и)) =

(по 1.2.5) = и – 1 + О(е^-2и).

Таким образом, x = и – 1 + О(е^-2и) - этот третье асимптотическое приближение корня.

4). Докажем, что е^-2х = е^-2и+2 + О(е^-4и): (2.1.3)

подставим третье асимптотическое приближение корня

(по 1.2.9)

(по 1.2.6)

(по 1.2.3 и 1.2.4)

.

Ряд 2е^-4х – 2е^-6х + 2е^-8х – 2е^-10х +… сходится при х > 0, т.е.

и его сумма равна thx – 1 + 2е^-2х. Значит, по теореме: thx – 1 + 2е^-2х = О(е^-4х),
т.е. thx=О(е^-4х)+1 - 2е^-2х.

Тогда x = и - thx = и – 1 + 2е^-2х + О(е^-4х) = (по 2.1.3) =

= и – 1 + 2(е^-2и+2 + О(е^-4и)) + О(е^-4х) = (по 1.2.6) =

= и – 1 + 2е^-2и+2 + О(е^-4и) + О(е^-2х ×е^-2х) = (по 2.1.1) =

= и – 1 + 2е^-2и+2 + О(е^-4и) + О(О(е^-2и)×О(е^-2и)) = (по 1.2.4) =

= и – 1 + 2е^-2и+2 + О(е^-4и) + О(О(е^-4и)) = (по 1.2.5) =

= и – 1 + 2е^-2и+2 + О(е^-4и) + О(е^-4и) = и – 1 + 2е^-2и+2 + 2О(е^-4и) = (по 1.2.6) =

= и – 1 + 2е^-2и+2 + О(е^-4и).

Таким образом, x = и – 1 + 2е^-2и+2 + О(е^-4и) - этот четвертое асимптотическое приближение корня.

Продолжая этот процесс, получим последовательность приближений с ошибками, асимптотический порядок которых постоянно убывает. Сходимость этой последовательности при неограниченном возрастании числа шагов на основе проведенных рассуждений увидеть трудно, но численные возможности этого процесса можно оценить, взяв, например, и = 5:

1) х = 5;

2) х = и – 1 + О(1) = 5 – 1 = 4; (не учитываем ошибку О(1))

3) x = и – 1 + О(е^-2и) = 5 – 1 = 4; (не учитываем ошибку О(е^-2и))

4) x = и – 1 + 2е^-2и+2 + О(е^-4и) = 5 – 1 + 0,000670925… = 4,000670925... (не учитываем ошибку О(е^-4и))

Точное значение, полученное стандартными численными методами, равно 4,0006698…

Пример 2.

Найдем большие положительные корни уравнения

x tg x = 1

Это уравнение можно обратить следующим образом:

,

где n– целое число, а арктангенс принимает значения в интервале

, находим, что x ~ npпри (n → ¥).

Если x > 1, то [6]

1). По теореме (2.1.2)

.

.

2).

По теореме (2.1.2)

. Тогда .

.

3).

По теореме (2.1.2)

. Тогда .

.

И так далее.

§2. Асимптотическое решение интегралов

Пример 1. Вычислить

при х > 1.

Разложим в ряд [6]:

По теореме (2.1.2)

, т.е. .

Пример 2. Вычислить

при e®+0, , А(х) - ступенчатая функция: А(х) = 0 при х < 0, А(х) = А_k, k£x < k + 1,
А_k = а₁ + а₂ +…+ а_k, а_k = k^-1 . Причем .

Воспользуемся асимптотической формулой [4]

,

где g - постоянная Эйлера

. Введем функцию Ã(х) = lnx + g.

.

Последний интеграл имеет порядок О(elne) при e®+0, а предпоследний – равен -g/2, так что

.

S(e) = I + J, где

.

Оценим интеграл J. Пусть

, тогда "k³ 1

.

Прологарифмируем

, получим . Значит

Следовательно,

.

Получаем, что

.

§3. Асимптотическое вычисление суммы ряда

При нахождении суммы ряда нередко используется формула суммирования Эйлера [2]:

где

В_k – числа Бернулли, В_m({x}) – многочлен Бернулли.

В_k = (-1)^kb_2k.[6]

. Коэффициенты b_k вычисляются, используя теорему о единственности разложения функции в степенной ряд:

путем приравнивая коэффициентов:

коэффициент при х: b₀ = 1,

коэффициент при х^k:

Пример 1. Найти

.

По 1.2.10 Н_k = lnk + O(1). Тогда

.

Применим формулу суммирования Эйлера:

.

Пример 2. Найти

Применим формулу суммирования Эйлера: