Сингулярные интегралы (стр. 4 из 5)
При этих n окажется
,так что
.Теорема доказана.
В качестве примера ее приложения рассмотрим интеграл Вейерштрасса
.Функция
есть ядро, т. к. при α<x<β 
.Эта функция положительна, и она возрастает при
и убывает при 
. Значит, для всякой 
будет 
в каждой точке x, где f(t) есть производная своего неопределенного интеграла.Определение. Функция Ψ(t, x)называется горбатой мажорантой функции
, если 
и если Ψ(t, x) при фиксированном x возрастает на сегменте [a, x] и убывает на сегменте [x, b].Теорема 3 (Д. К. Фаддеев). Если ядро 
при каждом n имеет такую горбатую мажоранту 
, что
,
где K(x) зависит лишь от x, то для любой
, имеющей точку t=x точкой Лебега, будет справедливо равенство 
.
Доказательство. Достаточно доказать, что
.Возьмем ε>0 и найдем такое δ>0, что при
будет 
.По лемме имеем
.С другой стороны, в сегменте [x+δ, b] последовательность
слабо сходится к нулю, т. к. при 
будет 
.Следовательно для достаточно больших n будет
.При этих n окажется
,так что
. Теорема доказана.§3. Приложения в теории рядов Фурье
Во введении мы уже определили понятие ряда Фурье функции f(x) по любой ортонормальной системе
. В частности, если речь идет о тригонометрической системе 
, (1)то рядом Фурье функции f(x) служит ряд
, (2)где
, 
. (3)Во введении предполагали, что
. Это предположение обеспечило существование коэффициентов Фурье 
функции f(x) в любой ортонормальной системе. Но функции системы (1) ограничены. Поэтому коэффициенты (3), а с ними и ряд (2), можно образовать для любой суммируемой функции.Вопрос о сходимости ряда (2) приводится к исследованию некоторого сингулярного интеграла. Если
, то, в силу (3), 
.Выведем формулу для упрощения выражения в скобках. Для этого сложим равенства
(k=0, 1, …, n-1), 
.Это дает
, откуда следует равенство 
, (4)Пользуясь этой формулой, придадим сумме
вид 
. (5)Этот интеграл есть сингулярный интеграл Дирихле.
Рассмотрим вопрос о суммировании ряда (2) по способу Чезаро. Этот способ состоит в отыскании предела среднего арифметического первых nсумм
: 
. (6)В случае сходимости ряда (2) в точке x последовательность
сходится к сумме ряда, но эта последовательность может сходиться и тогда, когда ряд (2) расходится.Для исследования
преобразуем ее с помощью формулы (5) 
.Но
. (7)Действительно, складывая равенства
(k=0, 1, …, n-1),находим
, откуда и следует (7).С помощью (7) получаем
. (8)Интеграл (8) есть сингулярный интеграл Фейера. Покажем, что для него выполнены условия теоремы Фаддеева.
Для этого рассмотрим функцию f(t)=1. Вычисляя ее коэффициенты Фурье по формулам (3), получим
(k=1, 2, …).Значит, для этой функции
(n=0, 1, 2, …), а следовательно и 
.Но выражая
интегралом Фейера, получим, что 
. (9)Заметив это, рассмотрим точку
. Пусть 
. Если 
, то 
, и, следовательно, 
, где A(x, α) не зависит от n.Отсюда следует, что
.Аналогично убедимся, что интеграл стремится к нулю по промежутку [β, π]. Сопоставляя это с (9), находим, что
,так что функция
есть ядро.Для этого ядра можно построить горбатую мажоранту. Заметим, что
. Отсюда 
. Но 
.Следовательно
и 
. (10)С другой стороны, когда
, то 
, так что 
. (11)Так как
, 
, то 
может оказаться и больше, чем 
. Но это несущественно. Если положим 
, 
, то разность между интегралом Фейера (8) и интегралом