Федеральное агентство по образованию

Государственное муниципальное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Вятский государственный гуманитарный университет

(ВятГГУ)

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

Сингулярные интегралы.

Выполнила:

студентка V курса

математического факультета

Сколова Ирина Юрьевна

____________________

Научный руководитель:

старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Гукасов Артур Константинович

____________________

Рецензент:

кандидат физико-математических наук, доцент

Подгорная Ирина Иссаковна

____________________

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой ___________________ Крутихина М. В.

« » _______________

Декан факультета ___________________ Варанкина В. И.

« » _______________

Киров 2005

Введение

Цель работы – познакомиться с понятием сингулярного интеграла, рассмотреть представление функции сингулярным интегралом в заданной точке и приложения в теории рядов Фурье.

Основной вопрос теории сингулярных интегралов состоит в установлении связи предельных значений интеграла

при

со значением функции f(t) в точке x. Важным также является вопрос о представлении суммируемой функции сингулярным интегралом в точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега. Теория сингулярных интегралов имеет многочисленные приложения. Например, вопрос о сходимости ряда Фурье разрешается с помощью сингулярного интеграла.

Во всем дальнейшем интеграл будем понимать в смысле интеграла Лебега. Напомним, что функция называется суммируемой, если существует конечный интеграл от этой функции.

В работе нам будут необходимы следующие определения и теоремы.

Определение.Если в точке x будет

, то точка xназывается точкой Лебега функции f(t).

Теорема (Н. Н. Лузин).Пусть f(x) измеримая и почти везде конечная функция, заданная на [a, b]. Каково бы ни было δ>0, существует такая непрерывная функция

, что
.

Если, в частности,

, то и
.

Теорему Н. Н. Лузина можно сформулировать и так: измеримая и почти везде конечная функция становится непрерывной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры.

Определение. Пусть дано измеримое множество E. Взяв произвольную точку x и число h>0, положим E(

, h)=E∙[

-h,

+h]. Это тоже измеримое множество.

Предел отношения

при h→0 называется плотностью множества E в точке

и обозначается через

Определение. Пусть функция f(x) задана на сегменте [a, b] и

. Если существует такое измеримое множество E, лежащее на [a, b] и имеющее точку

точкой плотности, что f(x) вдоль E непрерывна в точке

, то говорят, что f(x) аппроксимативно непрерывна в точке

Определение. Измеримая функция f(x) называется функцией с суммируемым квадратом, или функцией, суммируемой с квадратом, если

Множество всех функций с суммируемым квадратом обозначается символом

Определение. Пусть на сегменте [a, b] задана конечная функция f(x). Если всякому ε>0 отвечает такое δ>0, что для любой конечной системы взаимно не пересекающихся интервалов

, для которой

оказывается

, (3)

то говорят, что функция f(x) абсолютно непрерывна.

Не изменяя смысла определения, можно условие (3) заменить более тяжелым условием

Определение. Две функции f(x) и g(x), заданные на сегменте [a, b], называются взаимно ортогональными, если

Определение. Функция f(x), заданная на [a, b], называется нормальной, если

Определение. Система функций

, …, заданных на сегменте [a, b], называется ортонормальной системой, если каждая функция системы нормирована, а любые две функции системы взаимно ортогональны.

Определение. Пусть

есть ортонормальная система и f(x) некоторая функция из

. Числа

называются коэффициентами Фурье функции f(x) в системе

Ряд

называется рядом Фурье функции f(x) в системе

§1. Понятие сингулярного интеграла

Чтобы познакомиться с идеей, лежащей в основе понятия сингулярного интеграла, начнем с примера.

Рассмотрим функцию

. (1)

Если n и x фиксированы, а t меняется от 0 до 1, то эта функция есть непрерывная функция от t. Значит, для всякой суммируемой f(t) (

) можно образовать величину

. (2)

Докажем, что во всякой точке x (0<x<1), в которой функция f(t) непрерывна, будет

. (3)

Для этого прежде всего отметим, что при

. (4)

Поэтому, чтобы установить (3), достаточно показать, что при

стремится к нулю разность

Возьмем произвольное

и найдем такое

, что при

будет

. Считая, что

, представим

в форме

Интеграл

оценивается следующим образом:

Сингулярные интегралы (стр. 1 из 5)

Оглавление

Введение

§1. Понятие сингулярного интеграла