Система линейных уравнений (стр. 1 из 4)

Содержание

Введение

1. Основные понятия

2. Система nлинейных уравнений с nнеизвестными. Правило Крамера

3. Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными

4. Метод Гаусса решения общей системы с линейных уравнений

5. Критерий совместности общей системы линейных уравнений

Заключение

Список литературы

Введение

Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т.е. системы m уравнений 1ой степени сn неизвестными:

a₁₁x₁ + … + a_1n x_n = b₁;

a₂₁x₁ + … + a_2n x _n = b₂;

………………………………

a_m1x₁+ … + a_mnx_n= b_m.

Здесь x₁, …, x_n – неизвестные, а коэффициенты записаны так, что индексы при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем 1-й степени определяется не только тем, что они простейшие. На практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь, так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач.

Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается. В процессе знакомства с данной работой приобретаются навыки, с помощью которых в последующем решение систем линейных уравнений станет намного проще, понятнее и быстрее.

Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике.

1. Основные понятия

В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1n x_n = b₁;

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2n x_n = b₂; (1)

……………………………………

a_m1x₁+ a_m2x₂ + …+ a_mnx_n= b_m;

где х₁, х₂, …, х_n - неизвестные, значения которых подлежат нахождению. Как видно из структуры системы (1), в общем случае число неизвестных не обязательно должно быть равно числу уравнений самой системы. Числа а₁₁, а₁₂, …, а_mn называются коэффициентами системы, а b₁, b₂, …, b_m- её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы а_ij(i=1, 2,..., m; j = 1, 2,...,n) и свободные члены b_i (i=1, 2,...,m) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов а_ijсоответствует номеру уравнения, а второй индекс – номеру неизвестной х_i, при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена b_i соответствует номеру уравнения, в которое входит b_i.

Дадим определения некоторых понятий, необходимых при изучении системы уравнений. Решением системы уравнений (1) называется всякая совокупность чисел α₁, α₂, α_n, которая будучи поставлена в систему (1) на место неизвестных х₁, х₂, …, х_n, обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет по крайней мере два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

2. Система nлинейных уравнений с nнеизвестными. Правило Крамера

Пусть дана система nлинейных уравнений с nнеизвестными:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1n x_n = b₁;

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2n x_n = b₂; (2)

……………………………………

a_n1x₁ + a_n2x₂ + …+ a_nnx_n= b_n;

Определителем системы (2) называется определитель, составленный из коэффициентов а_ij.

a₁₁ a₁₂ … a_1n

∆ = a₂₁ a₂₂ … a_2n

…………………………

a_n1 a_n2 … a_nn

Рассмотрим случай, когда ∆ ≠ 0. Докажем, что в этом случае система (2) является определенной, т.е. имеет одно единственное решение. Как и ранее, через А_ijбудем обозначатьалгебраическое дополнение элемента а_ijв определителе ∆.

Умножим каждое уравнение системы (2) на алгебраические дополнения элементов i-го столбца определителя ∆, т.е. первое уравнение умножим на А_1i, второе – на А_2i и т.д., наконец, последнее уравнение – на А_ni, а затем все полученные уравнения системы сложим. Врезультатебудемиметь

(a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1ix_i + …+ a_1nx_n) A_1i + (a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2ix_i +

+ …+ a_2nx_n) A_2i + …+ (a_n1x₁ + a_n2x₂ + …+ a_nix_i + …+ a_nx_nn) A_ni = b₁A_1i + b₂A_2i + …+ b_nA_ni

или, сгруппировав члены относительно известных x₁, x₂, …, x_n, получим

(a₁₁A_1i + a₂₁A_2i + …+ a_n1A_ni) x₁ + … +

+ (a_1iA_1i + a_2iA_2i + …+ a_niA_ni) x_i + … +

+ (a_1nA_1i + a_2nA_2i + …+ a_nnA_ni) x_n =

= b₁A_1i + b₂A_2i + …+ b_nA_ni.(3)

Коэффициент при неизвестной х_iравен определителю ∆, а коэффициенты при всех других неизвестных равны нулю. Свободный член уравнения (3) отличается от коэффициента при х₁ тем, что коэффициенты а_1i, а_2i, …, а_niзаменены свободными членами b₁, b₂, …, b_nуравнения (2). Следовательно, выражение b₁A_1i + b₂A_2i + …+ b_nA_niесть определитель i-го порядка, отличающийся от определителя только i-м столбцом, которыйзамененстолбцом свободных членов. Обозначив этот определитель ∆x_i, будем иметь

a₁₁ a₁₂ … b₁ … a_1n

∆x_i = a₂₁ a₂₂ … b₂ … a_2n. (3)

………………………………

a_n1 a_n2 … b_n… a_nn

Таким образом, уравнение (3) можно записать в виде

∆х =∆x_i,

откуда при ∆ ≠ 0

х = ——

Придавая индексу i значения 1, 2, …, n, получаем:

х₁ = ——;

х₂ = ——;

(4)

………………

х_n = ——.

Рассмотренный метод решения системы уравнений называется правилом Крамера, а формулы (4) – формулами Крамера.

3. Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в нее уравнения являются линейными однородными уравнениями.

Однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + …+ а_1nх_n = 0;

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + …+ а_2nх_n = 0; (5)

…………………………………

а_n1х₁ + а_n2х₂ + …+ а_nnх_n = 0.

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что однородная система линейных уравнений (5) имеет нулевое решение:

х₁= 0, х₂ = 0,..., х_п = 0.

Таким образом, однородная система линейных уравнений (5) всегда

совместна. Поэтому важно выяснить, при каких условиях она является определенной. Покажем, что однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель ее равен нулю.

В самом деле, пусть D = 0. Так как однородная система уравнений является частным случаем неоднородной системы, то к ней применимо правило Крамера. Но для однородной системы все Dx_i = 0, так как каждый из этих определителей содержит столбец из нулей (b_i = 0). Поэтому система, равносильная системе (3), будет иметь вид