В предыдущем примере – это поток отказов и поток восстановлений. Другие примеры: поток вызовов на телефонной станции, поток покупателей в магазине и т.д.
Поток событий можно наглядно изобразить рядом точек на оси времени O t – рис. 2.
Рис. 2. Изображение потока событий на оси времени
Положение каждой точки случайно, и здесь изображена лишь какая-то одна реализация потока.
Интенсивность потока событий ( ) – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени.
Рассмотрим некоторые свойства (виды) потоков событий.
Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени.
В частности, интенсивность
стационарного потока постоянна. Поток событий неизбежно имеет сгущения или разрежения, но они не носят закономерного характера, и среднее число событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.Поток событий называется потоком без последствий, если для любых двух непересекающихся участков времени
и (см. рис. 2) число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. Другими словами, это означает, что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от друга и вызваны каждое своими собственными причинами.Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу.
Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами:
1) стационарен;
2) ординарен;
3) не имеет последствий.
Простейший поток имеет наиболее простое математическое описание. Он играет среди потоков такую же особую роль, как и закон нормального распределения среди других законов распределения. А именно, при наложении достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивности) получается поток, близкий к простейшему.
Для простейшего потока с интенсивностью
интервал T между соседними событиями имеет так называемое показательное (экспоненциальное) распределение с плотностью:где
- параметр показательного закона.Для случайной величины T, имеющей показательное распределение, математическое ожидание
есть величина, обратная параметру, а среднее квадратичное отклонение равно математическому ожиданию:1.4 Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Финальные вероятности состояний
Рассматривая Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем, подразумевается, что все переходы системы S из состояния в состояние происходят под действием простейших потоков событий (потоков вызовов, потоков отказов, потоков восстановлений и т.д.). Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет Марковским.
Итак, на систему, находящуюся в состоянии
, действует простейший поток событий. Как только появится первое событие этого потока, происходит «перескок» системы из состояния в состояние (на графе состояний по стрелке ).Для наглядности на графе состояний системы у каждой дуги проставляют интенсивности того потока событий, который переводит систему по данной дуге (стрелке).
- интенсивность потока событий, переводящий систему из состояния в . Такой граф называется размеченным. Для нашего примера размеченный граф приведен на рис. 3.Рис. 3. Размеченный граф состояний системы
На этом рисунке
- интенсивности потока отказов; - интенсивности потока восстановлений.Предполагаем, что среднее время ремонта станка не зависит от того, ремонтируется ли один станок или оба сразу. Т.е. ремонтом каждого станка занят отдельный специалист.
Пусть система находится в состоянии S0. В состояние S1 ее переводит поток отказов первого станка. Его интенсивность равна:
где
- среднее время безотказной работы первого станка.Из состояния S1 в S0 систему переводит поток «окончаний ремонтов» первого станка. Его интенсивность равна:
где
- среднее время ремонта первого станка.Аналогично вычисляются интенсивности потоков событий, переводящих систему по всем дугам графа. Имея в своем распоряжении размеченный граф состояний системы, строится математическая модель данного процесса.
Пусть рассматриваемая система S имеет
-возможных состояний . Вероятность -го состояния - это вероятность того, что в момент времени , система будет находиться в состоянии . Очевидно, что для любого момента времени сумма всех вероятностей состояний равна единице:Для нахождения всех вероятностей состояний
как функций времени составляются и решаются уравнения Колмогорова – особого вида уравнения, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний. Правило составления этих уравнений приведем здесь без доказательств. Но прежде, чем его приводить, объясним понятие финальной вероятности состояния.Что будет происходить с вероятностями состояний при
? Будут ли стремиться к каким-либо пределам? Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний.где
- конечное число состояний системы.Финальные вероятности состояний – это уже не переменные величины (функции времени), а постоянные числа. Очевидно, что:
Финальная вероятность состояния – это по–существу среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.
Например, система S имеет три состояния S1, S2 и S3. Их финальные вероятности равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5. Это значит, что система в предельном стационарном состоянии в среднем 2/10 времени проводит в состоянии S1, 3/10 – в состоянии S2 и 5/10 – в состоянии S3.
Правило составления системы уравнений Колмогорова: в каждом уравнении системы в левой его части стоит финальная вероятность данного состояния
, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а в правой его части – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в -е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.Пользуясь этим правилом, напишем систему уравнений для нашего примера:
.