Система массового обслуживания с ограниченным временем ожидания (стр. 4 из 9)
.Определим характеристики СМО: вероятность отказа
, относительную пропускную способность q, абсолютную пропускную способность А, среднюю длину очереди 
, среднее число заявок, связанных с системой 
, среднее время ожидания в очереди 
, среднее время пребывания заявки в СМО 
.Вероятность отказа. Очевидно, заявка получает отказ только в случае, когда канал занят и все т-мест в очереди тоже:
(9).Относительная пропускная способность:
(10).Абсолютная пропускная способность:
.Средняя длина очереди. Найдем среднее число
-заявок, находящихся в очереди, как математическое ожидание дискретной случайной величины R—числа заявок, находящихся в очереди: 
.С вероятностью
в очереди стоит одна заявка, с вероятностью 
— две заявки, вообще с вероятностью 
в очереди стоят k-1 заявок, и т.д., откуда: 
(11).Поскольку
, сумму в (11) можно трактовать как производную по 
от суммы геометрической прогрессии: 
.Подставляя данное выражение в (11) и используя
из (8), окончательно получаем: 
(12).Среднее число заявок, находящихся в системе. Получим далее формулу для среднего числа
-заявок, связанных с системой (как стоящих в очереди, так и находящихся на обслуживании). Поскольку 
, где 
— среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, а k известно, то остается определить 
. Поскольку канал один, число обслуживаемых заявок может равняться 0 (с вероятностью 
) или 1 (с вероятностью 1 - 
), откуда: 
.и среднее число заявок, связанных с СМО, равно:
(13).Среднее время ожидания заявки в очереди. Обозначим его
; если заявка приходит в систему в какой-то момент времени, то с вероятностью 
канал обслуживания не будет занят, и ей не придется стоять в очереди (время ожидания равно нулю). С вероятностью 
она придет в систему во время обслуживания какой-то заявки, но перед ней не будет очереди, и заявка будет ждать начала своего обслуживания в течение времени 
(среднее время обслуживания одной заявки). С вероятностью 
в очереди перед рассматриваемой заявкой будет стоять еще одна, и время ожидания в среднем будет равно 
, и т.д.Если же k=m+1, т.е. когда вновь приходящая заявка застает канал обслуживания занятым и m-заявок в очереди (вероятность этого
), то в этом случае заявка не становится в очередь (и не обслуживается), поэтому время ожидания равно нулю. Среднее время ожидания будет равно: 
,если подставить сюда выражения для вероятностей (8), получим:
(14).Здесь использованы соотношения (11), (12) (производная геометрической прогрессии), а также
из (8). Сравнивая это выражение с (12), замечаем, что иначе говоря, среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок. 
(15).Среднее время пребывания заявки в системе. Обозначим
- матожидание случайной величины — время пребывания заявки в СМО, которое складывается из среднего времени ожидания в очереди 
и среднего времени обслуживания 
. Если загрузка системы составляет 100%, очевидно, 
, в противном же случае: 
.Отсюда:
.Пример 1. Автозаправочная станция (АЗС) представляет собой СМО с одним каналом обслуживания (одной колонкой).
Площадка при станции допускает пребывание в очереди на заправку не более трех машин одновременно (m = 3). Если в очереди уже находятся три машины, очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится. Поток машин, прибывающих для заправки, имеет интенсивность
=1 (машина в минуту). Процесс заправки продолжается в среднем 1,25 мин.Определить:
вероятность отказа;
относительную и абсолютную пропускную способности АЗС;
среднее число машин, ожидающих заправки;
среднее число машин, находящихся на АЗС (включая обслуживаемую);
среднее время ожидания машины в очереди;
среднее время пребывания машины на АЗС (включая обслуживание).
Иначе говоря, среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.
Находим вначале приведенную интенсивность потока заявок:
=1/1,25=0,8; 
=1/0,8=1,25.По формулам (8):
Вероятность отказа
0,297.Относительная пропускная способность СМО: q=1-
=0,703.Абсолютная пропускная способность СМО: A=
=0,703 машины в мин.Среднее число машин в очереди находим по формуле (12):
,т.е. среднее число машин, ожидающих в очереди на заправку, равно 1,56.
Прибавляя к этой величине среднее число машин, находящихся под обслуживанием:
получаем среднее число машин, связанных с АЗС.
Среднее время ожидания машины в очереди по формуле (15):
Прибавляя к этой величине
, получим среднее время, которое машина проводит на АЗС: 
Системы с неограниченным ожиданием. В таких системах значение т не ограничено и, следовательно, основные характеристики могут быть получены путем предельного перехода
в ранее полученных выражениях (5), (6) и т.п.