Система массового обслуживания с ограниченным временем ожидания (стр. 5 из 9)

Заметим, что при этом знаменатель в последней формуле (6) представляет собой сумму бесконечного числа членов геометрической прогрессии. Эта сумма сходится, когда прогрессия бесконечно убывающая, т.е. при

<1.

Может быть доказано, что

<1 есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим, иначе такого режима не существует, и очередь при будет неограниченно возрастать. Поэтому в дальнейшем здесь предполагается, что <1.

Если

, то соотношения (8) принимают вид:

(16).

При отсутствии ограничений по длине очереди каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, поэтому q=1,

.

Среднее число заявок в очереди получим из (12) при

:

.

Среднее число заявок в системе по формуле (13) при

:

.

Среднее время ожидания

получим из формулы (14) при :

.

Наконец, среднее время пребывания заявки в СМО есть:

.

2.2 Многоканальная СМО с ожиданием

Система с ограниченной длиной очереди. Рассмотрим

канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания (для одного канала) ; число мест в очереди .

Состояния системы нумеруются по числу заявок, связанных системой:

нет очереди:

— все каналы свободны;

— занят один канал, остальные свободны;

— заняты -каналов, остальные нет;

— заняты все -каналов, свободных нет;

есть очередь:

— заняты все n-каналов; одна заявка стоит в очереди;

— заняты все n-каналов, r-заявок в очереди;

— заняты все n-каналов, r-заявок в очереди.

ГСП приведен на рис. 17. У каждой стрелки проставлены соответствующие интенсивности потоков событий. По стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью

, по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживании, интенсивность которого равна , умноженному на число занятых каналов.

Рис. 17. Многоканальная СМО с ожиданием

Граф типичен для процессов размножения и гибели, для которой решение ранее получено. Напишем выражения для предельных вероятностей состояний, используя обозначение

: (здесь используется выражение для суммы геометрической прогрессии со знаменателем ).

Таким образом, все вероятности состояний найдены.

Определим характеристики эффективности системы.

Вероятность отказа. Поступившая заявка получает отказ, если заняты все n-каналов и все m-мест в очереди:

(18)

Относительная пропускная способность дополняет вероятность отказа до единицы:

Абсолютная пропускная способность СМО:

(19)

Среднее число занятых каналов. Для СМО с отказами оно совпадало со средним числом заявок, находящихся в системе. Для СМО с очередью среднее число занятых каналов не совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе: последняя величина отличается от первой на среднее число заявок, находящихся в очереди.

Обозначим среднее число занятых каналов

. Каждый занятый канал обслуживает в среднем -заявок в единицу времени, а СМО в целом обслуживает в среднем А-заявок в единицу времени. Разделив одно на другое, получим:

.

Среднее число заявок в очереди можно вычислить непосредственно как математическое ожидание дискретной случайной величины:

(20)

где

.

Здесь опять (выражение в скобках) встречается производная суммы геометрической прогрессии (см. выше (11), (12) — (14)), используя соотношение для нее, получаем:

Среднее число заявок в системе:

Среднее время ожидания заявки в очереди. Рассмотрим ряд ситуаций, различающихся тем, в каком состоянии застанет систему вновь пришедшая заявка и сколько времени ей придется ждать обслуживания.

Если заявка застанет не все каналы занятыми, ей вообще не придется ждать (соответствующие члены в математическом ожидании равны нулю). Если заявка придет в момент, когда заняты все n-каналов, а очереди нет, ей придется ждать в среднем время, равное

(потому что «поток освобождений» -каналов имеет интенсивность ). Если заявка застанет все каналы занятыми и одну заявку перед собой в очереди, ей придется в среднем ждать в течение времени (по на каждую впереди стоящую заявку) и т. д. Если заявка застанет в очереди -заявок, ей придется ждать в среднем в течение времени . Если вновь пришедшая заявка застанет в очереди уже m-заявок, то она вообще не будет ждать (но и не будет обслужена). Среднее время ожидания найдем, умножая каждое из этих значений на соответствующие вероятности:

(21)

Так же, как и в случае одноканальной СМО с ожиданием, отметим, что это выражение отличается от выражения для средней длины очереди (20) только множителем

, т. е.

.

Среднее время пребывания заявки в системе, так же, как и для одноканальной СМО, отличается от среднего времени ожидания на среднее время обслуживания, умноженное на относительную пропускную способность:

.

Системы с неограниченной длиной очереди. Мы рассмотрели

канальную СМО с ожиданием, когда в очереди одновременно могут находиться не более m-заявок.

Так же, как и ранее, при анализе систем без ограничений необходимо рассмотреть полученные соотношения при

.