Среднее время ожидания заявки в очереди считаем по формуле:
t=
.t= = 0,22 ч.
Среднее время пребывания заявки в системе:
Т=t+ 0,22+0,5=0,72.
Пример 3. В парикмахерской работают 3 мастера, а в зале ожидания расположены 3 стула. Поток клиентов имеет интенсивность =12 клиентов в час. Среднее время обслуживания tобсл=20 мин. Определить относительную и абсолютную пропускную способность системы, среднее число занятых кресел, среднюю длину очереди, среднее время, которое клиент проводит в парикмахерской.
Для данной задачи n=3, m=3, =12, μ=3, ρ=4, ρ/n=4/3. Вероятность простоя определяем по формуле:
Р0=
.P0= 0,012.
Вероятность отказа в обслуживании определяем по формуле
Ротк=Рn+m= .
Pотк=Pn+m 0,307.
Относительная пропускная способность системы, т.е. вероятность обслуживания:
Pобсл=1-Pотк 1-0,307=0,693.
Абсолютная пропускная способность:
А= Робсл 12 .
Среднее число занятых каналов:
.
Средняя длина очереди определяется по формуле:
L=
L= 1,56.
Среднее время ожидания обслуживания в очереди:
t= ч.
Среднее число заявок в СМО:
M=L+ .
Среднее время пребывания заявки в СМО:
Т=М/ 0,36 ч.
Пример 4. Рабочий обслуживает 4 станка. Каждый станок отказывает с интенсивностью =0,5 отказа в час, среднее время ремонта tрем=1/μ=0,8 ч. Определить пропускную способность системы.
Эта задача рассматривает замкнутую СМО, μ=1,25, ρ=0,5/1,25=0,4. Вероятность простоя рабочего определяем по формуле:
Р0=
.P0= .
Вероятность занятости рабочего Рзан=1-Р0 . Если рабочий занят, он налаживает μ-станков в единицу времени, пропускная способность системы: А=(1-P0)μ=0,85μ станков в час.
Задача:
Два рабочих обслуживают группу из четырех станков. Остановки работающего станка происходят в среднем через 30 мин. Среднее время наладки составляет 15 мин. Время работы и время наладки распределено по экспоненциальному закону.
Найдите среднюю долю свободного времени для каждого рабочего и среднее время работы станка.
Найдите те же характеристики для системы, в которой:
а) за каждым рабочим закреплены два станка;
б) два рабочих всегда обслуживают станок вместе, причем с двойной интенсивностью;
в) единственный неисправный станок обслуживают оба рабочих сразу (с двойной интенсивностью), а при появлении еще хотя бы одного неисправного станка они начинают работать порознь, причем каждый обслуживает один станок (вначале опишите систему в терминах процессов гибели и рождения).
Решение:
Возможны следующие состояния системы S:
S0 – все станки исправны;
S1 – 1 станок ремонтируется, остальные исправны;
S2 – 2 станок ремонтируется, остальные исправны;
S3 – 3 станок ремонтируется, остальные исправны;
S4 – 4 станок ремонтируется, остальные исправны;
S5 – (1, 2) станки ремонтируются, остальные исправны;
S6 – (1, 3) станки ремонтируются, остальные исправны;
S7 – (1, 4) станки ремонтируются, остальные исправны;
S8 – (2, 3) станки ремонтируются, остальные исправны;
S9 – (2, 4) станки ремонтируются, остальные исправны;
S10 – (3, 4) станки ремонтируются, остальные исправны;
S11 – (1, 2, 3) станки ремонтируются, 4 станок исправен;
S12 – (1, 2, 4) станки ремонтируются, 3 станок исправен;
S13 – (1, 3, 4) станки ремонтируются, 2 станок исправен;
S14 – (2, 3, 4) станки ремонтируются, 1 станок исправен;
S15 – все станки ремонтируются.
Граф состояний системы…
Данная система S является примером замкнутой системы, так как каждый станок является потенциальным требованием, превращаясь в реальное в момент своей поломки. Пока станок работает, он находится в блоке задержки, а с момента поломки до момента окончания ремонта – в самой системе. Каждый рабочий является каналом обслуживания.
Вероятность простоя рабочего определяется по формуле:
.Вероятность занятости рабочего:
.Если рабочий занят, он налаживает μ-станков в единицу времени, пропускная способность системы:
.Ответ:
Средняя доля свободного времени для каждого рабочего ≈ 0,09.
Среднее время работы станка ≈ 3,64.
а) За каждым рабочим закреплены два станка.
Вероятность простоя рабочего определяется по формуле:
.Вероятность занятости рабочего:
.Если рабочий занят, он налаживает μ-станков в единицу времени, пропускная способность системы:
.Ответ:
Средняя доля свободного времени для каждого рабочего ≈ 0,62.
Среднее время работы станка ≈ 1,52.
б) Два рабочих всегда обслуживают станок вместе, причем с двойной интенсивностью.
в) Единственный неисправный станок обслуживают оба рабочих сразу (с двойной интенсивностью), а при появлении еще хотя бы одного неисправного станка они начинают работать порознь, причем каждый обслуживает один станок (вначале опишите систему в терминах процессов гибели и рождения).