Системи випадкових величин (стр. 3 из 5)

.

Умовний розподіл компоненти X при

.

Імовірність події (

) за формулою (1.1a)

.

За формулою (1.10b)

,

.

Умовний розподіл компоненти Y при

.

Імовірність події (

) за формулою (1.1a)

.

За формулою (1.10b)

,

.

Умовний розподіл компоненти Y при

Імовірність події (

) за формулою (1.1a)

.

За формулою (1.10b)

,

.

Умовний розподіл компоненти Y при

.

Умовні густинирозподілу компонент системи двох неперервних випадкових величин

визначаються рівностями

,(1.11a)

,(1.11b)

- умовна густина розподілу ймовірності компоненти X при фіксованому значенню , - умовна густина розподілу ймовірності компоненти Y при фіксованому значенню .

Приклад 1.9. Двовимірний вектор

заданий густиною сумісного розподілу

.

Знайти умовні розподіли компонент X та Y.

Розв’язування.

в крузі радіуса r і тому за формулою (1.11a)

при

і

при .

У підсумку

Аналогічно за формулою (1.11b)

Як і будь-які інші густини розподілу, умовні ймовірності мають такі властивості

,

.

Дві випадкові величини є незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від значення іншої. Умовні розподіли незалежних величин дорівнюють їх розподілам:

для неперервних величин і

.

для дискретних випадкових величин.

Необхідною та достатньою умовою незалежності випадкових величин є

,(1.12а)

або, як наслідок,

.(1.12b)

2. Характеристики системи двох випадкових величин

Система двох випадкових величин

з достатньою точністю може характеризуватися початковими та центральними моментами компонент порядку , які є числами і тому називаються чисельними характеристиками, і умовними початковими та центральними моментами компонент порядку , які є функціями можливих значень компонент.

Початкові та центральні моменти означаються рівностями

(2.1а)

(2.1б)

Найбільш важливими серед них є математичне сподівання компонент, дисперсії компонент та кореляційний момент.

Математичні сподівання компонент означаються так:

(2.2а)

(2.2б)

З використанням математичних сподівань компонент початкові та центральні моменти системи двох випадкових величин можна означити більш зручним способом:

,(2.3а)

,(2.3б)

(

- центровані компоненти);

Дисперсії компонент означаються тотожностями

,(2.4а)

;(2.4б)

Кореляційний момент характеризує лінійний зв’язок між випадковими величинами. Він означається як центральний момент

і позначається :

,(2.5)

(2.6)

Кореляційний момент часто називають коваріацією і позначається

.

З використанням кореляційного моменту і коефіцієнта кореляції 3 –у властивість дисперсії (3.3.2.7) можна узагальнити на випадок суми (різниці) довільних випадкових величин:

.(2.7)

Доведення.

.

.

Для незалежних випадкових величин кореляційний момент дорівнює нулю:

.

Доведення.

.

Абсолютна величина кореляційного моменту випадкових величин не перевищує середньогеометричногозначення дисперсій:

(2.8)

Доведення. Дисперсія випадкової величини

дорівнює

.(1*)

Дійсно:

,

,

.

За означенням дисперсія невід’ємна, тому з (1*)

звідки

.(2*)

Аналогічно, дисперсія випадкової величини

дорівнює