Системи випадкових величин (стр. 5 из 5)

, ,

, ,

.

Отже, функція регресії X на Y

.

Середньоквадратична регресія.

Нехай

система двох залежних випадкових величин. І нехай необхідно дослідити залежність випадкових величин одне від одного. Досить часто випадкова величина Y апроксимується лінійною функцією випадкової величини X:

,(3.1)

a, b -параметри, які необхідно обчислити. Функція

, яка забезпечує мінімум математичного сподівання

називається середньоквадратичною регресією Y на X. Дещо громізкими, але простими викладками можна довести ,що

.(3.2)

Доведення.

Точки мінімуму функції

знаходяться як розв’язок системи рівнянь

З врахуванням цього ця система рівнянь запишеться у вигляді

,

розв’язок якої

, ,(3.3)

а значить середньоквадратична регресія Y на X остаточно запишеться у вигляді

(3.4)

Коефіцієнт

називають коефіцієнтом середньоквадратичної регресії Y на X, а пряму

(3.5)

прямою середньої квадратичної регресії Y на X.

Мінімальне значення функції

(3.2)при значеннях a,b(3.3б)дорівнює і називається залишковою дисперсією випадкової величини Y відносно величини X. Вона характеризує похибку апроксимації

. При залишкова дисперсія дорівнює 0. Це означає, що при таких значеннях коефіцієнта кореляції випадкові величини X та Y зв’язані лінійною функціональною залежністю. Значна величина залишкової дисперсії є ознакою того, апроксимація (3.1) є невдалою. У цьому випадку слід користуватися апроксимацією поліномами другої , третьої, і вище, степені.

Аналогічно, можна одержати пряму середньоквадратичної кореляції X на Y:

.(3.6)

(коефіцієнт

- коефіцієнт середньоквадратичної регресії X на Y , - залишкова дисперсія випадкової величини X відносно величини Y.При обидві прямі регресії співпадають.

З рівностей (3.4) та (3.6) слідує, що обидві прямі проходять через точку

. Цю точку називають центром сумісного розподілу двовимірної випадкової величини.

Лінійна кореляція нормальних величин

Якщо обидві функції регресій X на Y та Y на X є лінійними функціями, то говорять, що X та Y зв’язані лінійною кореляційною залежністю. Графіки лінійних регресій – прямі лінії, які співпадають з прямими середньоквадратичних регресій.

Якщо двовимірна випадкова величина (X ,Y) має нормальний закон розподілу у сукупності, то X та Y зв’язані лінійною кореляційною залежністю.

Доведення.Для спрощення густину нормального сумісного розподілу можна записати у вигляді

,

, , , .

Для знаходження регресії

необхідно знайти розподіл компоненти :

,

.

З врахуванням цього

.

,

,

Тому

.

Густина умовного розподілу компоненти

.

Порівнюючи одержану густину умовного розподілу з густиною нормального розподілу можна зробити висновок, що умовний розподіл компоненти

є нормальним з математичним сподіванням (функцією регресії на )

та умовною дисперсією

.

Аналогічно можна одержати функцію регресії

на

.

Видно, що обидві функцій регресій є лінійними, а значить кореляція між

та є лінійною,що й треба було довести. Крім того видно, що прямі регресій

співпадають з прямими середньоквадратичної регресії (3.5) та (3.6).