Системи випадкових величин (стр. 1 из 5)
СИСТЕМИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН
(реферат)
Вступ
N-вимірний вектор
(t-індекс транспонування) називається випадковим, якщо його координати є випадковими величинами. Вектор 
називають дискретним, якщо його координати - дискретні випадкові величини, неперервним,якщо його компоненти - неперервні випадкові величини і змішаним, якщо частина його компонент – дискретні випадкові величини, а інша частина – неперервні випадкові величини. Випадкові N-вимірні вектори називають ще системою N випадкових величин або багатовимірними випадковими величинами. В подальшому розглядаються двовимірні випадкові вектори (системи двох випадкових величин), які позначаються 
.1. Розподіли системи двох випадкових величин
Система двох дискретних випадкових величин однозначно визначається сумісним розподілом ймовірностей, який можна задати матрицею
y1y2… ym
, (1.1)(
).Стовпчики матриці відповідають значенням
випадкової величини Y , а рядки – значенням 
випадкової величини X. Події 
утворюють повну групу подій, тому сума елементів матриці 
дорівнює 1: 
.Розподіли
, 
називають розподілами компонент системи двох випадкових величин
. Події 
, 
,..., 
є несумісними, тому за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій сума елементів і-рядка матриці дорівнює ймовірності значення 
:
.(1.1а)Аналогічно, сума елементів j-стовпчика дорівнює ймовірності значення
: 
.(1.1b)Приклад 1.1. Система двох випадкових величин
задана сумісним розподіломy1y2
Знайти розподіли компонент системи випадкових величин.
Розв’язування. За формулами (1.1а) та (1.1b)
; 
; 
; 
; 
.Отже, розподіли компонент
.Будь-який двовимірний випадковий вектор (неперервний чи дискретний) однозначно визначається інтегральною функцією сумісного розподілу
, (1.2)яка визначає ймовірність того, що випадкова величина X приймає значення менше ніж x, а
- менше ніж y. Геометрична інтерпретація інтегральної функції сумісного розподілу полягає в тому, що вона визначає ймовірність попадання випадкової точки 
у нескінченний заштрихований квадрат із вершиною в точці 
(рис 1.1).Інтегральна функція розподілу випадкового вектора
має такі очевидні властивості.Властивість 1.
.Властивість 2.Функція
неспадна по кожному аргументу 
, якщо 
; 
, якщо 
.Властивість 3.Мають місце граничні співвідношення
, 
, 
, 
.Властивість Для функція
мають місце ще і такі граничні співвідношення
, 
, 
- інтегральна функція розподілу компоненти X випадкового вектора . 
- інтегральна функції розподілу компоненти Y випадкового вектора .З використанням функції розподілу (1.2) легко можна обчислити ймовірність попадання випадкової точки у напівсмугу
та 
(рис 1.2) 
, (1.3а) 
.(1.3б)Імовірність попадання випадкової точки у напівсмугу дорівнює приросту інтегральної функції сумісного розподілу по відповідному аргументу.
Доведення. Імовірність попадання у напівсмугу
дорівнює різниці ймовірності попадання точки у нескінченний квадрат з вершиною 
( 
)і ймовірності попадання точки у нескінченний квадрат з вершиною 
( . Звідси і слідує рівність (1.3а)Імовірність попадання випадкової точки у прямокутник утворений прямими
(рис.1.3) обчислюється за формулою
(1.4)Доведення. Імовірність попадання у прямокутник дорівнює різниці ймовірності попадання точки у напівсмугу
( 
)і ймовірності попадання у напівсмугу 
( 
). Звідси і слідує рівність (1.3а)Приклад 1.2. Знайти ймовірність пападання випадкової точки
у прямокутник обмеженний прямими 
, 
, 
, 
, якщо відома інтегральна функція сумісного розподілу 