Системы с постоянной четной частью (стр. 1 из 5)

Дипломная работа

"Системы с постоянной четной частью"

Содержание

Введение. 3

1. Четные и нечетные вектор-функции. 4

2. Основные сведения из теории отражающих функций. 6

3. Системы чёт-нечет. 11

4. Построение примеров систем, четная часть общего решения которых постоянная 14

5. Простые и простейшие системы.. 22

6. Построение множества систем, четная часть общего решения которых постоянна 26

6.1 Системы, имеющие постоянную четную часть. 26

6.2 Построение систем с заданной четной частью.. 27

Заключение. 31

Список использованных источников………………………………………… 25

Введение

Основным инструментом нашего исследования является понятие отражающей функции. Исследования с помощью отражающей функции позволяет получить новые результаты даже для уже хорошо изученных линейных систем.

При изучении вопросов существования периодических решений дифференциальных систем и уравнений используются свойства симметричности (четность, нечетность и т.п.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.

В данной работе мы будем рассматривать семейства решений с постоянной четной частью, т.е. когда четная часть будет представлена в виде константы.

Разберем примеры систем, семейства решений которых имеют постаянную четную часть. Будем изучать построение систем с заданной четной частью.

1. Четные и нечетные вектор-функции

По аналогии с вещественными функциями одной переменной, вектор-функцию

, будем называть четной (нечетной), если для всех , является четной (нечетной) функцией, т.е. область определения симметрична относительно нуля и ( ).

Любую функцию с симметричной областью определения, можно представить как сумму четной и нечетной функций. Действительно, если

и

то

и

является четной функцией, а – нечетной.

будем называть четной частью функции , – нечетной.

Отметим следующие свойства четных и нечетных функций.

Свойство 1Производная дифференцируемой четной (нечетной) функции есть функция нечетная (четная).

Доказательство. a)

– четная функция.

Т.к.

и существуют или не существуют одновременно, то , и . Таким образом, производная четной функции есть функция нечетная.

б)

– нечетная функция.

Т.к.

и существуют или не существуют одновременно, то , и . Таким образом, производная нечетной функции есть функция четная.

Свойство 2 Если

– нечетная функция, то .

Доказательство. Поскольку

– нечетная функция, то

Подставив вместо

получаем

Откуда следует

2. Основные сведения из теории отражающих функций

Рассмотрим систему

(1)

считая, что её правая часть непрерывна и имеет непрерывные частные производные по

. Общее решение этой системы в форме Коши обозначим через . Через обозначим интервал существования решения

Пусть

Определение: Отражающей функцией системы (1) назовем дифференцируемую функцию

определяемую формулой

(2)

или формулами

Для отражающей функции справедливы свойства:

1) Для любого решения

системы (1) верно тождество

(3)

2) Для отображающей функции

любой системы выполнены тождества:

(4)

3) Дифференцируемая функция

будет отражающей функцией системы (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям в частных производных

(5)

и начальному условию

(6)

Уравнение (5) будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающей функции.

Доказательство. Свойство 1) следует непосредственно из определения (2). Для доказательства свойства 2) заметим, что согласно свойству 1) для любого решения

системы (1) верны тождества

Из этих тождеств в силу того, что через каждую точку

проходит некоторое решение системы (1), и следуют тождества (5).

Приступим к доказательству свойства 3). Пусть

– отражающая функция системы (1). Тогда для неё верно тождество (3). Продифференцируем это тождество по и воспользуемся тем, что – решение системы (1), и самим тождеством (3). Получим тождество

из которого в силу произвольности решения

следует, что – решение системы (5). Начальное условие согласно свойству 2) так же выполняется.

Пусть некоторая функция

удовлетворяет системе (5) и условию (6). Так как этой системе и этому условию удовлетворяет так же и отражающая функция, то из единственности решения задачи (5) – (6) функция должна совпадать с отражающей функцией. Свойство 3) доказано.