Собственные вектора и собственные значения линейного оператора (стр. 2 из 2)

(x,

(y))= (b₁₁y₁+b₁₂y₂) x₁+(b₂₁y₁+b₂₂y₂) x₂=b₁₁x₁y₁+b₁₂x₁y₂+b₂₁x₂y₁+b₂₂x₂y₂.

Найдем разность скалярных произведений:

(

(x), y) – (x,

(y)) = (a₁₁-b₁₁) x₁y₁+(a₂₁-b₁₂) x₁y₂+(a₁₂-b₂₁) x₂y₁+(a₂₂-b₂₂) x₂y₂.

Если для любых векторов x и y из пространства R² равенство

(

(x), y) – (x,

(y))=0 (3)

Выполнено (необходимость), то верна система

a₁₁=b₁₁,

a₂₁=b₁₂,

a₁₂=b₂₁, (4)

a₂₂=b₂₂,

и обратно: если условия (4) соблюдены для любых векторов x и y, то равенство (3) выполнено (достаточность). Система равенств (4) означает, что

₁= ₂= .

Ортогональность собственных векторов

Собственные векторы симметричного линейного оператора, соответствующие различным собственным числам, взаимо ортогональны.

Пусть x и y – собственные векторы оператора

, соответствующие собственным числам λ₁и λ₂, причем λ₁≠ λ₂. По определению симметричного оператора:

(

(x), y)= (x, (y))

Подставив сюда правые части равенства (

(x))= λ₁x, ( (y))= λ₁y, получим

(λ₁x, y)=(x, λ₂y). Вынесем числа λ₁и λ₂, за знак скалярного произведения, перенесем слагаемые влево и разложим на множители: (λ₁– λ₂) (x, y)=0

Поскольку λ₁≠ λ₂, получаем (x, y)=0, что и означает взаимную ортогональность векторов x и y.

Отметим другие важные свойства симметричного оператора.

1) Характеристическое уравнение симметричного оператора имеет только действительные корни.

2) Если в евклидовом пространстве Rⁿ задан симметричный оператор

, то в Rⁿ существует ортонормированный базис e₁, e₂, …, e_n, составленный из собственных векторов .

3) Если все собственные числа λ₁, λ₂, …, λ_nсимметричного оператора положительны, то (

(x), x) > 0 для любого ненулевого вектора x.

Положительные матрицы

Квадратная вещественная матрица A = (a_ij) называется положительной, если все её элементы положительны: a_ij > 0.

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица A имеет положительное собственное значение r, которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению r соответствует собственный вектор e_r, все координаты которого строго положительны. Вектор e_r – единственный собственный вектор A (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.

Список литературы

1. Арутюнов Ю.C. и др. Высшая.математика: Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов. 3-е изд. М.: Высш. шк., 2005. 144 с.

2. Высшая математика: Программа, методические указания и контрольные задания для студентов-заочников иижеиерио-техиических специальностей сельскохозяйственных вузов. 4-е изд., перераб. М.: Высш.шк., 2005. 110 с.

3. Мироненко Е.С. Высшая математика: методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерных специальностей вузов. М.: Высш. шк., 2008. 110 с.

4. Зимина О.В. и др. Высшая математика. 2-е изд., испр. М.: Физматлит, 2009. 368 с. (Решебиик).