Собственные вектора и собственные значения линейного оператора (стр. 1 из 2)

РЕФЕРАТ

"Собственные вектора и собственные значения линейного оператора"

Понятие собственные векторы и собственные значения

Перед тем как определить понятие собственные вектора, покажем его на наглядном примере. На рисунке 1, красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственное подпространство.

Рис. 1

Определение. Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора

, если найдется такое число λ, называемое собственным значением линейного оператора, что

(x) = λ·x(1)

Равенство (1) означает, что вектор x, подвергнутый действию линейного оператора, умножается на число λ. Появляется коллинеарный вектор. Среди векторов линейного векторного пространства могут существовать такие, воздействие оператора на которые переводит эти векторы в коллинеарные самим себе. Если на таких векторах построить базис, преобразования линейной алгебры значительно упростятся.

Не всякий линейный оператор обладает собственными векторами. Например, в геометрической плоскости R² оператор поворота на угол, не кратный π, не имеет ни одного собственного вектора, поскольку ни один ненулевой вектор после поворота не останется коллинеарным самому себе.

Решим задачу нахождения собственных векторов оператора. Запишем равенство (1) в матричной форме:

P·X = λ·X

Преобразуем матричное уравнение:

P·X – λ·X = 0 или (P – λ·E) X =0

Матричное уравнение всегда имеет нулевое решение:

X=0=

Для существования ненулевых решений ранг матрицы коэффициентов должен быть меньше числа переменных r<n, т.е. число линейно независимых уравнений должно быть меньше числа переменных. В этом случае должно быть выполнено условие

|P – λ·E|=0 (2)

Расписав уравнение (2) относительно λ подробнее, получим

|P – λ·E|=

Раскрыв определитель, получим уравнение n-й степени относительно λ:

Которое называется характеристическим уравнением оператора

. Корни уравнения называются характеристическими или собственными числами оператора. Множество всех собственных чисел оператора называется спектром этого оператора. Многочлен левой части уравнения называется характеристическим многочленом.

Решив характеристическое уравнение, получаем собственные числа λ₁, λ₂, …, λ_n. Для каждого найденного собственного значения λ_iнайдем ненулевые векторы ядра оператора P – λ_i E. Именно они будут собственными векторами, соответствующими собственному значению λ_i. Другими словами, необходимо решить однородную систему уравнений (P – λ_iE) X=0. Ее общее решение дает всю совокупность собственных векторов, отвечающих λ_i.

Общее решение однородной системы, как известно, структурировано. Оно представляет собой линейную комбинацию фундаментального набора линейно независимых решений (векторов). Число линейно независимых векторов в фундаментальном наборе называется геометрической кратностью собственного значения λ_i. Вводиться также алгебраическая кратность – кратность λ_iкак корня характеристического многочлена.

Независимость собственных векторов

Существование линейно независимых векторов среди собственных, отвечающих различным собственным числам λ₁, λ₂, …, λ_n, определяется следующей теоремой.

Собственные векторы x₁, x₂, …, x_n оператора, отвечающие различным собственным значениям λ₁, λ₂, …, λ_n, линейно независимы.

На n линейно независимых собственных векторах можно построить базис n-мерного линейного векторного пространства.

Замечание. Определитель матрицы P – λE(соответственно характеристический многочлен) не зависит от выбора базиса.

|P’ – λE|=|T^-1PT – λE|=|T^-1PT- λT^-1ET|=|T^-1P- λET|=|T^-1||P- λET||T|=|P- λET|

Следовательно, при переходе к новому базису собственные числа сохраняются.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора

, заданного матрицей P= в пространстве R².

Решение. Составим характеристическое уравнение:

|P – λ·E|=

= λ²-5 λ+4=0

Из квадратного уравнения найдем собственные значения линейного оператора λ₁=1, λ₂=4. Чтобы найти собственные векторы, решим матричные уравнения:

(P – λ₁E) X=0 и (P – λ₂E) X=0

В развернутом виде

и

Соответствующие однородные системы:

Общие решения систем:

и , где с₁, с₂ є R

Таким образом, множество собственных векторов, отвечающих собственным значениям λ₁=1, λ₂=4, имеет вид

; , где с₁, с₂ є R. Векторы a₁=(1, 1), a₂=(-2, 1), например, являются линейно независимыми. Они могут быть приняты в качестве нового базиса в пространстве R².

Пусть e₁, e₂, …, e_n – собственные векторы линейного оператора

в пространстве Rⁿ, которые примем в качестве базиса. Тогда разложение векторов (e₁), (e₂), …, (e_n) по базису e₁, e₂, …, e_n примет вид

Отсюда следует, что a_ij= λ_i, если i=j и a_ij=0, если i≠j. Поэтому в базисе, составленном из собственных векторов, матрица оператора будет иметь диагональный вид:

Симметричный оператор

Определение. Линейный оператор

в евклидовом пространстве Rⁿ называется симметричным, если для любых векторов x и y из пространства Rⁿ выполняется равенство

(

(x), y)= (x, (y))

Для того чтобы линейный оператор был симметричен, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ортонормированном базисе была симметрична.

Рассмотрим для простоты евклидово пространство R². Пусть в ортобазисе e₁, e₂ заданы векторы x=(x₁, x₂), y=(y₁, y₂). Линейные операторы

₁ и ₂ определены своими матрицами:

и .

Вычислим векторы

₁(x) и ₂(y):

,

.

Найдем скалярные произведения (

(x), y) и (x, (y)):

(

(x), y)=(a₁₁x₁+a₁₂x₂) y₁+(a₂₁x₁+a₂₂x₂) y₂=a₁₁y₁x₁+a₁₂y₁x₂+a₂₁y₂x₁+a₂₂y₂x₂,