в) коэффициент вариации
;г) коэффициент асимметрии
;д) коэффициент эксцесса
;е) Мода (наивероятнейшее число) находится из неравенства
np-q£Мода(Х)<np+p , т.е. 3×0,8-0,2£Мода(Х)<3×0,8+0,8
2,2£Мода(Х)<3,2ÞМода(Х)=3.
Пример 9. В условиях предыдущего примера, найти вероятность того, что из 100 рабочих дней торговая база уложится в норму транспортных расходов:
а) ровно 80 раз; б) от 75 до 85 дней включительно.
Решение: а) в нашем случае n=100; p=0,8; q=0,2.
Воспользоваться точной формулой для вычисления Р(Х=80) практически невозможно, поэтому воспользуемся приближенной. Так как npq=100×0,8×0,2=16>9,то применим локальную теорему Муавра- Лапласа.
,j(0)- найдено по таблице 3 приложения-плотности нормального распределения N(0,1);
б) воспользуемся интегральной теоремой Муавра- Лапласа.
=2Ф(1,25)=2×0,39435=0,7887
здесь Ф(Х)- функция Лапласа, значение которой найдено по таблице.
Пример 10. Вероятность того, что наборщик ошибется при наборе знака равна 0,0001. Найти вероятность того, что набирая 30000 знаков, наборщик допустит:
а) ровно 3 ошибки; б) от 2 до 4 ошибок включительно.
Решение: Можно считать, что мы находимся в схеме Бернулли с параметрами n=30000, p=0,0001. Тогда npq=30000×0,0001×0,9999»3<9, поэтому для вычисления отдельных вероятностей воспользуемся теоремой Пуассона:
,l=np, k=0,1,2,...
а)пользуясь таблицей, получим
, l=np=3.б)
=0,22404+0,22404+0,16803=0,61611.
Пример 11. С.в. Х имеет распределение Пуассона со средним равным 1,5. Найти числовые характеристики Х. Вычислить вероятности: а) Р(Х=0); б) Р(Х³1); в) Р(Х>7).
Решение: Для с.в. имеющей распределение Пуассона с параметром l известно, что МХ=l. Следовательно, из условия задачи (МХ=1,5) находим, что l=1,5.Числовые характеристики Х равны
МХ=l=1,5 ; DХ=l=1,5; среднее квадратическое отклонение
.Коэффициент вариации
.Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
.Моду с.в. Х найдем по таблице: Мода(Х)=1, т.к. Х=1 имеет наибольшую вероятность.а) По таблице находим Р(Х=0)=0,22313; б)
Р(Х³1)=1-Р(Х=0)=0,77687;
в) Р(Х>7)=0,00017.Эта вероятность найдена по таблице 2 приложения, она настолько мала, что можно считать, что больше 7 событий практически не происходят.
Пример 12. Из урны содержащей четыре белых и шесть черных шаров, наудачу извлекают три шара. Какова вероятность, что среди них два черных шара. Найдите числовые характеристики с.в. Х- число черных шаров из вынутых трех шаров.
Решение: Мы находимся в схеме формирования с.в. Х имеющей гипергеометрическое распределение с параметрами (N,p,n):
,k=0,1,2,..., q=1-p. В нашем случае: N=6+4=10 - общее число шаров в урне; n=3 - число шаров, которые достаются из урны; Np=6 - количество черных шаров, Þp=6/N=6/10=0,6 (p связано с черными шарами, т.к. Х- тоже связано с черными шарами);
Nq=4 - число белых шаров,Þq=0,4. Итак:
.Числовые характеристики с.в. Х равны MX=n×p=3×0,6=1,8 ;
Среднее квадратическое отклонение
Коэффициент вариации
Коэффициент асимметрии
.Пример 13. С.в. Х имеет показательное распределение с параметром l=2. Найти числовые характеристики с.в. Х и вычислить Р(1<X<3).
Решение: Числовые характеристики с.в. Х вычисляются по формулам:
-математическое ожидание;
-дисперсия; -среднее квадратическое отклонение;
V(X)=100% -коэффициент вариации
всегда равен 100% ; Медиана
(Х)=
.График плотности с.в. Х имеет вид изображенный на рис.1. Из этого графика видно, что локальный максимум плотности находится в точке О.
Следовательно Мода(Х)=0.
Коэффициент асимметрии a(Х)=2 (всегда 2).
Коэффициент эксцесса е(Х)=6 (всегда 6).
рис.1
Пример 14. С.в. Х имеет нормальное распределение с параметрами а=150, s2=36.
а) Выпишите плотность с.в. Х и изобразите эскиз графика плотности.
б) Найти числовые характеристики с.в. Х.
в) Найти границы за которые практически не выходит с.в. Х.
г) Вычислить Р(135<X<165).
Решение: а) Выпишем плотность с.в. Х:
,б) Найдем числовые характеристики Х.
МХ=Мода(
)=Медиана( )=а=150D(X)=s2=36Þs(x)=
=s=6Коэффициенты асимметрии и эксцесса равны 0. Коэффициент вариации
,в) используя правило 3 сигм, можно утверждать, что с.в. Х практически (с вероятностью 0,9973) не выйдет за границы интервала а-
3s<X<a+3s, т.е. 150-3×6<X<150+ 3×6sÞ132<X<168;
г) Р(135<X<165)=Ф
= ,здесь Ф(×)-функция Лапласа, значение которой найдено по таблице. Отметим свойство функции Ф(х):Ф(-х)=-Ф(х) поэтому Ф(-2,5)=- Ф(2,5)=-0,49379.
Пример 15. Найдите выборочные числовые характеристики по выборке: 3,5,6,3,3,6,3,7,5,5,3.
Решение: Построим статистический ряд частот:
Варианты хi | 3 | 5 | 6 | 7 |
Частота ni | 5 | 3 | 2 | 1 |
Объем выборки
n=n1+n2+n3+n4=5+3+2+1=11.
;S2=
,Оценки
являются "хорошими" для математического ожидания и дисперсии, т.к. выборка является малой, а Мода(Х)=3, т.к. значение 3 встречается большее число раз (пять). Построим вариационный ряд: 3,3,3,3,3,5,5,5,6,6,7.Т.к. n-нечетно (n=11), то на месте (n+1)/2=6 в вариационном ряде стоит медиана: Медиана(Х)=5.Коэффициент асимметрии
a*(х)=
.Пример 16. По выборочным данным найти
моду, медиану. Построить гистограмму.Интервал | Частота ni |
5-11 | 18 |
11-17 | 25 |
17-23 | 14 |
23-29 | 8 |
29-35 | 2 |
Решение: Построим гистограмму частот
Для удобства
Интервал | Середина интервала | Частота ni | Накопленная частота | |
вычислений | 5-11 | 8 | 18 | 18 |
составим | 11-17 | 14 | 25 | 43 |
таблицу. | 17-23 | 20 | 14 | 57 |
23-29 | 26 | 8 | 65 | |
29-35 | 32 | 2 | 67 | |
S=67 |
При вычислении
=
Медиана оценивается по формуле Медиана= L+i