Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 1 из 2)
Министерство высшего образования Украины
Национальный Технический Университет Украины
“Киевский политехнический институт”
Кафедра автоматизированных систем обработки информации и управления
К о н т р о л ь н а я р а б о т а
по дисциплине :
“ Теория вероятностей и математическая статистика”
Вариант № 24
Выполнил студент гр. ЗІС - 91
ІІI курса факультета ФИВТ
Луцько Виктор Степанович
2009г.
Задача 1
Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что:
а) сумма числа очков не превосходит N;
б) произведение числа очков не превосходит N;
в) произведение числа очков делится на N.
Исходные данные: N=18.
Решение задачи:
Вероятностью случайного события А называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий пространства Е, определяемого данным испытанием.
| Р(А) = | m |
| n |
где: n – число всех равновозможных элементарных событий, вытекающих из условий данного испытания;
m - число равновозможных событий, которые благоприятствуют событию А.
а) при сумме числа очков (N = 18), не превосходящих N:
n = 36;m = 36
| Р(А) = | 36 | = | 1 ; |
| 36 |
б) при произведении числа очков, не превосходящих N:
n = 28;m = 36
| Р(А) = | 28 | = | 7 | » 0,778 ; |
| 36 | 9 |
в) при произведении числа очков, делящихся на N:
n = 3;m = 36
| Р(А) = | 3 | = | 1 | » 0,083 . |
| 36 | 12 |
Ответы:
а) Р(А) = 1 ;
б) Р(А) = 7/9 » 0,778 ;
в) Р(А) = 1/12 » 0,083.
Задача 2
Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i-го сорта равно
=1, 2, 3, 4. Для контроля наудачу берутся т изделий. Определить вероятность того, что среди них т1 первосортных, т2, т3 и т4 второго, третьего и четвертого сорта соответственно 
.Исходные данные: n1 = 3; n2 = 1; n3 = 6; n4 = 2;m1 = 2; m2 = 1; m3 = 3; m4 = 1.
Решение задачи.
1) Определяем количество способов нужной комбинации:
С¢ = Сn1m1 x Сn2m2 x Сn3m3 x Сn4m4 = С32 x С11 x С63 x С21 ;
2) Определяем количество всех возможных способов:
С¢¢ = Сn1+n2+n3+n4m1+m2+m3+m4 = С127 ;
3) Определяем вероятность Р согласно условия задачи:
| Р = | С32 x С11 x С63 x С21 | = | 3 х 1 х | 4 х 5 х 6 | х 2 | = |
| 2 х 3 | ||||||
| С127 | 8 х 9 х 10 х 11 х 12 | |||||
| 2 х 3 х 4 х 5 | ||||||
| = | 3 х 5 | = | 5 | » 0,15 |
| 9 х 11 | 33 |
Ответ: Р = 5/33 » 0,15 .
Задача 3
Среди п лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли т билетов. Определить вероятность того, что среди них
выигрышных.Исходные данные: n = 8; l = 3; m = 5; k = 4.
Решение задачи.
 | ||||||
| |
| Р(А) = | Сkl x Сn-km-l | = | С43 x С8-45-3 | = | 3 | » 0, 4286 . |
| Сnm | С85 | 7 |
Ответ: Р(А) = 3/7 » 0, 4286 .
Задача 7
В круге радиуса R наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны S1 и S2. Исходные данные:R =14; S1 = 2,6; S2 = 5,6.
Решение задачи
  |
 | P(A) = | S | . | |||
| |
| pR2 |
| P(A1) = | S1 | = | 2,6 | » 0,0042246 ; |
| pR2 | 3,14 x 142 |
| P(A2) = | S2 | = | 5,6 | » 0,0090991 ; |
| pR2 | 3,14 x 142 |
| P(A) = | S1+ S2 | = | 2,6 + 5,6 | = | 8,2 | » 0,013324 . |
| pR2 | 3,14 x 142 | 615,44 |
Ответ: Р(А) » 0,013324 .
Задача 8
В двух партиях k1 и k2 % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:
а) хотя бы одно бракованное;
б) два бракованных;
в) одно доброкачественное и одно бракованное?
Исходные данные: k1 = 81; k2 = 37.
Решение задачи
События А и В называются независимыми, если выполняется соотношение:
Р(А/В) = Р(А) / Р(В) .
Для любых событий А и В имеет место формула:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) .
Обозначения:
Событие А – выбрали бракованное изделие из 1-й партии (1 – k1) ;
Событие B – выбрали бракованное изделие из 2-й партии (1 – k2) .
События А и В – независимые.
а)Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = (1 – k1) + (1 – k2) – (1 – k1)(1 – k2) =
= 0,19 + 0,63 – 0,19 х 0,63 » 0,82 – 0,12 » 0,70 .
б) Вероятность пересечения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
Р(АÇВ) = Р(А) х Р(В) = (1 – k1)(1 – k2) = 0,19 х 0,63 » 0,12 .
в)Р = Р(А) х Р(В) + Р(В) х Р(А) = (1 – k1)k2 + (1 – k2)k1 == 0,19 х 0,37 + 0,63 x 0,81 » 0,07 + 0,51 » 0,58 .
Ответы:
а) » 0,70;
б)» 0,12;
в)» 0,58.
Задача 9
Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком р1 вторым —р2 . Первый сделал n1, второй — n2 выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.
Исходные данные: p1 = 0,33; p2 = 0,52; n1 = 3; n2 = 2.
Решение задачи.
Обозначения:
А – вероятность непоражения цели при одном выстреле первым стрелком (1 – р1) ;
В – вероятность непоражения цели при одном выстреле вторым стрелком (1 – р2) ;
Р – цель не поражена в результате общего количества испытаний.
Р = (1 – р1)n1 x (1 – р2)n2 = (1 – 0,33)3 x (1 – 0,52)2 = 0,673 x 0,482» 0,30 x 0,23 » 0,069 » 0,07 .
Ответ:» 0,07 .
Задача 12
Из 1000 ламп ni принадлежат i-й партии, i=1, 2, 3,
. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа — бракованная.Исходные данные: n1 = 350; n2 = 440.
Решение задачи
Рассмотрим три гипотезы:
Н1 – выбор лампы из первой партии;
Н2 – выбор лампы из второй партии;
Н3 – выбор лампы из третьей партии;
а также событие А – выбор бракованной лампы.
Учитывая то, что Н1, Н2, Н3 – полная группа попарно несовместимых событий, причем Р(Нi) ¹ 0, i = 1,2,3, то для любого события А имеет место равенство (формула полной вероятности):
| 3 | |
| Р(А) = | å P(Hi) x P(A/Hi) . |
| i=1 |
Тогда:
P(H1) = 350/1000 = 7/20 ;
P(H2) = 440/1000 = 11/25 ;
P(H3) = 210/1000 = 21/100 .
Р(А) = 7/20 х 0,06 + 11/25 х 0,05 + 21/100 х 0,04 = 42/2000 + 55/2500 + 84/10000 = 514/10000 = 0,0514 .
Ответ: Р(А) = 0,0514 .
Задача 18
На каждый лотерейный билет с вероятностью p1 может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р2. — мелкий выигрыш и с вероятностью р3 билет может оказаться без выигрыша,
. Куплено n билетов. Определить вероятность получения n1 крупных выигрышей и n2 мелких.Исходные данные: n = 14; n1 = 5; n2 = 4;p1 = 0,25; p2 = 0,35.
Решение задачи
Для решения данной задачи используем формулу для полиномиального распределения вероятностей, т.к. события – является ли і-тый билет выигрышным (и насколько) или невыигрышным – независимы (для разных і):
| Pn(m1,m2,…,mk) = | n! | p1m1p2m2 … pkmk . |
| m1! m2!…mk! |
В задаче: А1 – билет оказался с крупным выигрышем;