Теория вероятности (стр. 2 из 3)
Решение. Пусть «счастливые» билеты имеют номера 1,2,3,4,5. Обозначим через i1 номер билета, взятого первым студентом, через i2 - номер билета, взятого вторым студентом, тогда элементарным исходом будет пара
, а пространство элементарных исходов 
здесь все элементарные исходы равновероятны. Событие А={первый студент взял «счастливый» билет} имеет вид
а событие В={второй студент взял «счастливый» билет} имеет вид:
Каждое из событий А и В содержит
элементов, а все пространство W содержит 
элементов. Следовательно, Р(А)=Р(В)=1/5.2. Вероятность и информация
Рассмотрим n-мерное вещественное пространство
. Пусть в какую-то ограниченную область 
наудачу бросили точку. Слово «наудачу» означает, что в таком эксперименте все точки области 
«равновозможны». В этом случае вероятность попадания этой точки в какую-то подобласть 
определяется формулой 
где
и 
– n-мерные объемы областей 
и соответственно. Здесь элементарными исходами называются точки множества (которое играет роль пространства элементарных исходов), а благоприятствующими исходами – точки множества .Задача 6.Точку наудачу бросили на отрезок
. Какова вероятность попадания этой точки на интервал 
?Решение. Здесь пространство элементарных исходов весь отрезок 
, а множество благоприятствующих исходов 
, при этом длины этих интервалов равны 
и 
. Поэтому вероятность попадания брошенной точки в указанный интервал равна 
.
Задача 7.На отрезок
бросили наудачу и поочередно две точки. Какова вероятность, что первая точка лежит правее второй точки?Решение. Обозначим получившиеся координаты точек через x и y. Элементарным исходом в таком бросании двух точек будет пара
, а пространством элементарных исходов – квадрат 
. Событие A={первая точка лежит правее второй точки} равносильно условию x>y, следовательно, 
, т.е. представляет собой треугольник (см. рисунок). Площади квадрата и треугольника равны соответственно 
и 
, а потому вероятность 
.3. Аксиомы теории вероятности
Суммой двух событий А и В называется событие АÈВ (А+В), заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из событий А или В (либо событие А, либо событие В либо А и В одновременно).
Произведением (или пересечением)двух событий А и В называется событие АÇВ (АВ), состоящее в одновременном появлении и события А и события В.
Вероятность суммы двух событий вычисляется по формуле (теорема сложения)
.
События А1,А2,...,Ак образуют полную группу событий, если в результате испытания непременно произойдет одно из них , т.е.
.События А и В называются несовместными (непересекающимися), если они не могут произойти одновременно АÇВ=Æ. Если события несовместны, то
Р(АВ) = 0 и Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Задача 1. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?
Решение. Событие A={вынуты пуговицы одного цвета} можно представить в виде суммы
, где события 
и 
означают выборку пуговиц красного и синего цвета соответственно. Вероятность вытащить две красные пуговицы равна 
, а вероятность вытащить две синие пуговицы 
. Так как события и не могут произойти одновременно, то в силу теоремы сложения 
Помимо обычной (безусловной) вероятности можно рассматривать так называемую условную вероятность, вычисляемую при условии, что событие B произошло. Такую вероятность (вероятность А при условии В) обозначают Р(А|В) и вычисляют с помощью одной из двух формул:
Из этой формулы вытекает формула для вероятности произведения двух событий (теорема умножения)
.Формула умножения для трех событий:
.Задача 2.В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – мальчик, если известно, что в семье есть дети обоего пола?
Решение. Пусть А={старший ребенок – мальчик}, B={в семье есть дети обоего пола}. Будем считать, что рождения мальчика и рождение девочки – равновероятные события. Если рождение мальчика обозначить буквой М, а рождение девочки – Д, то пространство всех элементарных исходов состоит из четырех пар:
. В этом пространстве лишь два исхода (МД и ДМ) отвечают событию B. Событие AB означает, что в семье есть дети обоего пола и старший ребенок – мальчик, это значит, что второй (младший) ребенок – девочка. Этому событию AB отвечает один исход – МД. Таким образом, |AB|=1, |B|=2 и 
Задача 3. Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, берет и проверяет детали одну за другой, пока нему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали.
Решение. Событие А={мастер проверил ровно две детали} означает, что при такой проверке первая деталь оказалась нестандартной, а вторая – стандартная. Значит,
, где ={ первая деталь оказалась нестандартной } и ={вторая деталь – стандартная}. Очевидно, что вероятность 
кроме того, 
(так как перед взятием второй детали у мастера осталось 9 деталей, из которых только 2 нестандартные и 7 стандартных). По теореме умножения 
Событие А не зависит от В, если появление события В не меняет значения вероятности события А, т.е. условная вероятность равна безусловной: Р(А/В) = Р(А). Аналогично определяется независимость события B от A.Оказывается, что свойство независимости на самом деле симметрично относительно событий A и B, и потому определение независимости двух событий принимает более простой вид:
два события A и Bнезависимы, если справедливо равенство