Теория и методика обучения математике (стр. 3 из 10)

Обычно математические суждение формулируется в виде математических предложений.

К математическим предложениям относятся: теоремы и аксиомы. Некоторые определения тоже относят к математическим предложениям.

К математическим предложениям относят уравнение неравенство, тождество и др.

Для выражения тех или иных научных суждений и для выражения логической структуры операции над ними используется язык математической логики, где используется термин высказывания близкий к термину суждений. Над высказываниями используются логические операции конъюнкция, дизъюнкция, и т. д..

Основными видами математических суждений являются: аксиомы, постулаты, теоремы.

Аксиома (от греческого то, что приемлема) - предложение, принимаемое без доказательства его истинность допускается.

В аксиомах высказываются утверждения о свойствах основных неопределяемых понятиях некоторые теории к системе аксиом предлагаются требования независимости, непротиворечивости, полноты.

Постулат (от лат. требование) – это предложение в котором выражаются некоторое требование (условие) к которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторого отношения между понятиями.

Теорема (от греч. рассматриваю, зрелище) – математическое предположение, истинность которого устанавливается по средствам доказательства (рассуждения).

2.В любой теореме можно выделить разъяснительную часть (Р), условие (А), заключение (В).

Пример: В теореме «если две прямые // 3-й, то они // между собой».

Р: три прямые

А: 2 // 3-й

В: 3 прямые // между собой

Любую теорему на языке логики можно записать так Р/А

В или А В.

Теорема имеющая одно условие называется простой.

Если имеется несколько условий, то называется теорема сложной.

П-р: сложной теоремой

1) если 2 // прямые пересечены третьей, то накрест лежащие углы равны и сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов (А

В1 В2)

2) если диагональ четырехугольника точкой пересечения делится пополам, то эта фигура ромб (А1

А2 В).

Каждая сложная теорема может быть предложена в виде нескольких простых.

Для словесной формулировки теорем используется условное (со словами или … то) и категорическое (без этих слов)

Условная формы формулировки теорем отражает ее структуру и импликация высказываний из А

В.

Условная формы формулировки теорем удобна для изучения в ней после слов если, дается условие теоремы то, ее заключение.

П-р: 1) Средняя линия треугольника // основанию (категорическая форма)

2) Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником ( условная форма)

3) Вертикальные углы равны (категорическая форма)

4) Если два угла вертикальные, то они равны (условная форма).

С любой теоремой связаны еще 3 теоремы.

1. А

В- прямая

2. В

А- обратная

3.

- противоположная к первой

4.

- контропозитивная.

1 2 пары эквивалентных

3 4 теорем.

П-р: 1) Если четырехугольник параллелограмм, то его диагонали пересекаясь делятся пополам (А

В- истина)

2) Если в четырехугольнике диагонали пересекаясь делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм (В

А- истина).

3) Если четырехугольник не параллелограмм, то его диагонали пересекаясь не делятся пополам (

истина)

4) Если в четырехугольнике диагонали пересекаясь не делятся пополам, то этот четырехугольник не является параллелограммом (

истина).

Отметим важные случаи простых и сложных теорем.

Следствие- это теорема, легко доказываемая с помощью одной теоремы.

Лемма- вспомогательная теорема представляющая интерес, только как ступень к доказательству другой теоремы.

Необходимое и достаточное условие.

Это теорема объединяющая в одной формулировке с использованием слов необходимо и достаточно прямую и обратную теорему.

А

В

-Теорема существования- это теорема, в которой отсутствуют условие и заключение, но утверждается существование какого-либо объекта, обладающего определенными свойствами ( Н-р: теорема существования параллельных прямых).

- Теорема единственности- эта теорема в которой нет условия и заключения, но утрачивается единственность какого-либо объекта, обладающего какими-то свойствами (Н-р: теорема единственности перпендикуляра к прямой проходящего через данную точку).

- Теорема тождества, теорема формула- это теоремы, выраженные языком математических символов.

Некоторые теоремы отражают свойства объекта (эти понятия), а некоторые его признаки.

Свойства понятия- это то что можем сказать о данном понятие всесторонне рассматривая его.

Признак понятия- это те показатели, по которым можно узнать данное понятие.

Отличить теорему выражающая свойство понятия от теоремы, выражающей его признаки помогает условная формы теоремы, если об объекте идет речь в условии, то это свойство понятия, а если в заключении, то признак, причем объект в формулировке встречается один раз.

П-р: Теорема: «Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность.»- это свойство прямоугольника.

Теорема в условной форме выражается так «если параллелограмм является прямоугольником, то вокруг него можно окружность». Здесь идет речь в условии теоремы.

Теорема: «Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником»- это признак прямоугольника

Теорема в условной форме: «если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником».

Лекция 2. Индукция. Дедукция. Аналогия

Доказательство любой теоремы состоит из цепочки умозаключения.

Умозаключение- это рассуждение, в ходе которого из одного или нескольких суждений называемых посылками умозаключения выводятся новые суждения называемые заключением или следствием, логически вытекающих из посылок.

Умозаключение делится на непосредственные и опосредованные.

Непосредственным умозаключением называется умозаключение, если вывод делается на основании только одной посылки. (Н-р: параллелограмм- это четырехугольник.- нет не может)

Опосредованным умозаключением называется, если вывод делается на основании нескольких посылок. Умозаключение бывает достоверным, если вывод истинное утверждение и вероятностным, если истинность вывода не определена.

В зависимости от общности посылок и вывода выделяют следующие виды умозаключений:

Дедуктивное

Индуктивное

Традуктивное

Дедуктивное умозаключение или дедукция (от лат. выведение)- умозаключение от общего к частному, частичному или от более общего к менее общему.

Индуктивное умозаключение или индукция (от лат. наведение)- от частного к общему или от менее общего к более общему.

Традуктивное или традукция (от лат. перемещение)- умозаключение, в котором посылки и вывод имеют одинаковую степень общности.

Дедуктивное умозаключение - может быть непосредственным и опосредованным.

Самым распространенным видом опосредованного умозаключения является силлогизм.

В силлогизме содержатся три понятия, и состоит из посылок и вывода, его структуру можно представить в следующем виде:

Пример силлогизма

П - р силлогизма: Все ромбы (М) есть параллелограммы (Р).

Доказательство любой теоремы состоит из нескольких силлогизмов, на которые при доказательстве теорем делают ссылки только в устной форме, особо не выделяя силлогизмы (этапы доказательства).

П-р: Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков обоих хорд равны произведению отрезку другой хорды.

Дано:

АВ и СД - хорды

Е- их точка пересечения

Доказать: АЕ*ВЕ=СЕ*ДЕ

Доказательство:

1 Силлогизм

БП Вписанные углы опирающие на одну и ту же равны.

МП угол

1 и 2 вписанные и опираются на дугу АД.

В: Угол

1= 2

2 Силлогизм.

БП: Вертикальные углы равны.

МП: Угол

3 4 вертикальные углы.