Теория и методика обучения математике (стр. 4 из 10)

В: угол

3= 4 .

3 Силлогизм

БП:

АСЕ и ВЕД подобны.

МП:

1= 2, 3= 4 т.к они подобны.

В:

1= 2, 3= 4

4 Силлогизм БП

МП АЕ

ЕД; СЕ ЕВ; АС ВД

В

АСЕ ВЕД

Задание: Доказать любую теорему из учебника в форме выделения силлогизмов.

Полная и неполная дедукция.

В том случае когда дедукцией вывод делается после рассматривания не всех частных случаев индукция называется неполной.

Примеры неполной индукции: рассмотрим умножение 2-х чисел

26*24=624

47*43=2021

62*68=4216

сумма единиц-10

первые цифры – одинаковые.

Рассмотрев произведение этих чисел делают вывод. Для любых чисел

и , где сумма

b+c=10, тогда произведение может быть найдено по следующему правилу:

* =a(a+1)*100+bc

этот вывод сделан на основе неполной индукции от частного к общему и нуждается в доказательстве, т.к может оказаться ложным.

Примеры на сокращение дробей:

Из рассматриваемых примеров можно сделать вывод, что в числитель и знаменатель можно вычеркнуть b, а иногда нельзя

.

Из приведенных примеров видно что неполная индукция вероятностно умозаключению. Она не может использоваться для доказательства утверждения, но она поможет выделить гипотезы на основании подмеченных закономерностях.

Н-р: Найти ГМТ на плоскости равноудаленных концов отрезка АВ.

Полная индукция противоположность неполной индукции, служит методом строгого логического доказательства.

Может быть использована при доказательстве утверждений относящиеся как к конечному так и бесконечному множеству объекта.

П-р: Значение выражения

является целым числом при любом х равных 0, -5, 1.

В случае доказательства некоторым утверждениям для бесконечного множества объектов методом полной индукции это множество разделяется на конечное число не пересекающихся подмножеств, которые при объединении должны составлять данное множество.

В школьном курсе полная индукция применяется при доказательстве о величине вписанного угла, теорема косинусов.

Литература:

1. Н.Я. Виленкин «Индукция. Комбинаторика» Москва, 1976

2. Головина Л.И. , Яглан И.М. «Индукция в геометрии» 1956г, Москва.

Аналогия.

Аналогия- является видом традуктивного умозаключения. Она также , как и полная индукция относится к вероятностному умозаключению.

Аналогия- это утверждение, при котором значение об одном объекте переносится на другой объект, сходимый с первым, иногда его называют умозаключение по сходству.

Различают умозаключение простую и распространенную аналогию.

В распространенной аналогии от сходства явлений делают вывод о сходстве причины.

Простая аналогия- это аналогия, в которой от сходства двух объектов в одних признаках, отношениях заключают о сходстве их других признаков и отношениях.

Н-р: Предмет А имеет признаки 1, 2, 3. Предмет В 11, 21, 31- признаки.

В: вероятно объект имеет признак 3 сходный с 31.

Н-р: 1) у прямоугольника все углы прямые (А)

все диагонали равны (В)

точкой пересечения делятся пополам (С).

у прямоугольного параллелепипеда все линейные углы трех равных углов прямые (А)

диагонали равны (В1)

В: (вероятно диагонали параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам С1)

Можно заметить сходство треугольника и тетраэдра.

Треугольник выпуклая фигура на плоскости образована наименьшим числом пересечения плоскостей.

Тетраэдр выпуклая фигура в пространстве образуется пересечений плоскостей в пространстве.

Вероятно, свойства у них сходны.

Литература:

1. Ердниев П.А., Ердниев Б.П. «Аналогия в задачах» 1989

2. Ердниев П.М. «Аналогия в математике» Москва

Лекция 3. Методы доказательств

Доказательство- это цепь логических рассуждений, связывающие условие и заключение теоремы опирающихся на известные теории (теоремы, определения, аксиомы) и обосновывающих истинность заключения. К доказательству теорем учащихся необходимо готовить с первого по 6 классы, научить их наблюдательности, подмечать закономерности и т.д.

Необходимо научить учащихся приводить контрпримеры, они являются доказательством.

Н-р: 1) четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны являются ромбом

2) В четырехугольнике противоположные углы по 90 градусов n-угольник.

При изучении геометрии особенно на начальном этапе большое значение имеет вид чертежа, его расположение.

Методы доказательства теорем делятся на два вида: прямое и косвенное доказательства.

Если доказательство соединяет условие и заключение теоремы, то его называют прямым доказательством.

Если оно связывает условие и заключение другой теоремы (суждение), но в силу логических законов обосновывает истинность доказываемой теоремы, то это косвенное доказательство.

Метод доказательства- это способ связи заключений доказательства.

В широком смысле анализ и синтез являются операциями мышления и следовательно могут рассматриваться как методы познания действительности.

Слово анализ от греч., разложение, расчленение.

Анализом обычно наз. такую операцию мышления с помощью, которой переходят от целого к его частям, от сложного к простому, от следствия к причине, от искомого к данным.

Слово синтез от греч., соединение, сочетание, составление.

Синтез представляет собой операцию мышления с помощью которой переходят от части к целому, от простого к сложному, от причины к следствию, от данных к искомому.

Кроме того над анализом понимают коллективное изучение свойств объекта, а под синтезом их качественное изучение.

Поскольку анализ и синтез связывают причину (условие теоремы, задачи) со следствием (заключением теоремы , требованием задачи) их рассматривают как метод доказательства.

Синтетический метод доказательства определяется тем, что рассуждения ведутся от условия к заключению теоремы это метод прямого доказательства.

А

С

(А

Т) В1 В2 В3 … Вх С, где Т известные математические предложения в рассмотрении теории.

В1,В2,В3,…,Вх- следствие из условия.

Вывод об истинности С делается по закону логики.

Синтетический метод- метод строгого доказательства.

П-р: Теорема: Если противоположные стороны некоторого четырехугольника попарно равны, то это параллелограмм.

Дано

АВ=СД, ВС=АД (условие А)

Доказать: АВСД- параллелограмм (заключение)

Доказательство:

1)

АВС= АСД (В1)