Теория и методика обучения математике (стр. 7 из 10)
Элементарность проявляется в возможности разделения алгоритма на отдельные законченные операции, шаги, каждый из которых ученик может выполнить.
Детерменированность алгоритма понимается как однозначность, определенность каждого его шага.
Результативность показывает, что выполнение предписаний обязательно приводит к требуемому результату.
В школьном курсе математики вместо слова «алгоритм» часто используют термин «правило»
Правило- такое предписание, которое отличается от алгоритма, с нарушением некоторых свойств.
Логико-математический анализ алгоритмов и правил составляют из следующих действий.
а) проверка характеризующих свойств.
б) выделение последовательности операции.
в) установление связи с другими знаниями.
г) установление математических оснований, которые обычно являются общими математическими суждениями.
«Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями надо привести их к общему знаменателю и сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.»
Все свойства алгоритма выполняются, т.к правило применимо для любых двух обыкновенных дробей с разными знаменателями (массовость). В нем четко выделены 2 операции (дискретность) каждая из которой вполне определена (дискретность) и последовательное их выполнение приводит к результату в виде дроби (результативность) с помощью этого правила можно складывать дроби большего количества. Убрав в формулировке слово две. Учителю необходимо пересмотреть правило, указать порядок выполнения действия.
«Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями надо:
1) привести их к общему знаменателю
2) сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.»
Способы задания и виды алгоритмов.
Основными способами задания алгоритмов является словесное предписание в виде свободного текста, памятки, инсрукции, перечня шагов и т.п.
Образец выполнения
Алгоритмичная запись
Блок схемы
Запись на одном из математических языков программирования.
Основные виды алгоритмов: 1. линейные и разветвленные.
2.циклические и нециклические.
Рассмотренный пример «Сложение дробей с разными знаменателями» является линейным нециклическим алгоритмом, заданным способом предписания.
П-р: «Алгоритм Евклида» нахождение НОД двух чисел.
1) Разделить х на у перейти к указанию 2
2) если остаток =0
перейти к указанию 4, иначе к указанию 3.3) присвоить х значение у, в значение остатка. Перейти к указанию 1.
4) НОД (х,у)=
. перейти к указанию 5.5) процесс окончен.
Это разветвленный циклический алгоритм, заданный способом алгоритм записи «Алгоритм решения линейных уравнений».
Это разветвленный не циклический алгоритм в виде блок-схемы. В школьном курсе математики алгоритмы и правила чаще записываются в виде и образца выполнения
Развитие понятия числа в курсе математики в неполной средней школе.Различные подходы изучения чисел в курсе математики в неполной средней школе.
Методические основы ведения новых чисел.
Понятие числа относится к основным понятиям математики. На вопрос «что такое число? »нельзя дать ответ, опираясь на ранее введение понятия.
Современная математика имеет дело с различными по природе числами: натуральные N, с целыми Z, рациональные
Q , действительные числа R, иррациональные J, комплексные С, гиперкомплексные К.Понятие числа возникло на заре человеческой цивилизации в результате деятельности человека. Постепенно происходило расширение понятия числа.
Nc Z c Q C R c C c r, каждое из этих множеств является расширением предыдущего, при этом имеется в виду, что множество У является расширением множества Х, если выполняются следующее условие:
Множество Х есть собственное подмножество множества У.
Все отношения и операции для элементов множества Х определены и в множестве У, при этом их смысл совпадает с тем, который они имели в Х до расширения.
В множестве У выполнена операция, которая в Х была не выполнима, или не всегда выполнима.
Расширение У является минимальным из всех возможных удовлетворяющим первым трем требованиям.
Первое расширение понятия числа происходит в 5-6 классах, к концу 6-го класса формулируется понятие рационального числа, дальнейшее расширение в 7-9 и далее в 10-11 классах, причем основные положения и представление о числе у учащихся сложились в 5-6 классах.
С точки зрения чистой алгебры естественный ряд обобщений идет по пути:
(1)
(2) (3) (4) и на алгебраических числах заканчивается.В школе рассмотрение понятия числа идет по пути (1)
(5) (3) (7) (8)При разработке программы для школы были предложения идти по пути (1)
(2) (3), после того как ученики изучили целые числа должны перейти к понятию неотрицательного числа.В начале 5-го класса ученики еще не готовы к введению понятия отрицательного числа, они не поймут почему из меньшего числа вычесть больше, а понятие дроби более естественно, оно связано с повседневной жизнью, поэтому выбором путь рассмотрения числа (1)
(5) (3) (7) (8) от (7) (8) оставили на факультативные занятия.А.А. Столяр предлагает показать учащимся, что расширение понятия числа происходит из потребности практики и в связи с этим предлагает следующую схему:
Введение дробных чисел возможно начиная с обыкновенных и десятичных дробей, необходимо исходит из начального освоения. Для первоначального усвоения обыкновенной дроби легче исходя из возраста их жизни, а затем десятичные.
Введение нового числа обычно опирается на жизненный опыт учащихся, необходима мотивировка, так введение дробных чисел связывает с измерением, делением на части, мотивировка может быть алгебраической, практической (вводятся индуктивным методом).
Методика введения новых чисел в школе.
Какие дроби изучали раньше обыкновенные или десятичные?
В большинстве случаев в школе принято изучать обыкновенные дроби, однако есть случаи когда первыми изучают десятичные дроби:
1) десятичные дроби имеют большую практическую ценность.
2) производить действия над десятичными дробями легче
3) теорию о десятичных дробях можно построить, используя понятие обыкновенной дроби, расширяя десятичную нумерацию меньшую единицы.
Доводы против-й стороны:
не следует отступать от исторического развития числа.
Не следует нарушать логику, обыкновенная дробь родовое понятие, а десятичная дробь- видовое, трудно обосновать действия над десятичными дробями без обыкновенной дроби.
Учащиеся не оценят легкость действий над десятичными дробями не познавая трудности при действии над обыкновенными.
Теоретическое значение обыкновенных дробей, выше вся алгебра построена на обыкновенных дробях.
Нумерация дробных чисел.
В нумерации натуральных и дробных чисел есть различия:
1. Натуральное число имеет единственное название и единственное обозначение.
Дробное число имеет бесконечное множество названий и обозначений.
Обыкновенные дроби в отличии от десятичных читается неоднозначно.
При первоначальном введении новых понятий, надо начинать с небольшого 2-3х минутного исторического экскурса.
Источники получения дробных чисел.
1. Дробные числа появляются как результат измерения величин.
2. Разделение предметов на доли.
Дробные числа появляются в результате деления одного числа на другое.
Первоначальное ознакомление учащихся с дробью начинается в начальных классах, в 3 классе они знакомятся с долями, методикой ознакомления с простейшими дробями опора на конкретные образы долей величины, на практическое получение той или иной доли, а затем и дроби путем деления предметов, геометрических фигур на нужное число равных частей.
Нельзя допускать формального введения этих понятий.
В начальных классах для введения дроби учащиеся должны:
1) уметь называть и показывать доли со знаменателями не превышающие числа 10. Знать обиходное название этих дробей
(половина, три, четверть).