Функции (стр. 2 из 3)

Чтобы показать, что f является инъекцией, мы должны показать, что для всех действительных чисел х¢и х¢¢ из равенства f(х¢)= f(х¢¢) следует, что х¢= х¢¢. Итак, пусть f(х¢)= f(х¢¢) Û ах¢ + b = ах¢¢ + bÛ ах¢= ах¢¢Û х¢= х¢¢, поэтому f – инъекция.

Чтобы показать, что f – сюръекция, предположим, что у – любое действительное число. Мы должны найти х ÎR такое, что f(х) = у.

Пусть

,

тогда х ÎR и

,

поэтому f -сюръекция.

Рассмотрим функцию f: Х ® У, где Х и У – подмножества R. Если у нас есть график функции у = f(х), то мы можем легко ответить на вопросы: является или нет функция f(х) инъективной или сюръективной?

Предположим, что f не инъективна. Тогда существуют два элемента х¢и х¢¢ в Х такие, что х¢¹ х¢¢, но f(х¢)= f(х¢¢) = b, то есть горизонтальная прямая у = b должна дважды пересечь график функции в точках, которые отвечают х = х¢ и х = х¢¢.

Если же f – инъективна, то такой ситуации никогда не возникнет, то есть горизонтальная прямая у = b, проведенная через любую точку bÎ У на оси Оу, никогда не будет иметь с графиком функции более, чем одной общей точки.

Если же f – сюръективна, то У_f = У, и любая горизонтальная прямая, проходящая через точку множества У, обязательно будет иметь общую с графиком точку.

Проведенные рассуждения суммируем в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть f:Х ® У – функция, где Х и У – подмножества R. Тогда:

1) f – инъективна, если и только если каждая горизонтальная прямая, проходящая через точку b на оси Оу, будет иметь самое большее, одну общую точку с графиком f(х);

2) f – сюръективна, если и только если каждая горизонтальная прямая, проходящая через точку bÎ У оси Оу, будет иметь, по крайней мере, одну общую точку с графиком f(х).

Примеры.

Функция с графиком (а) является инъективной, так как каждая горизонтальная прямая, проходящая через точку b оси OУ имеет не более, чем одну общую точку с графиком. Эта функция не является сюръективной, так как, например, горизонтальные прямые, проходящие через точки с отрицательными ординатама, не пересекают график функции ни разу.

График (б) – это график функции, которая сюръективна, но не инъективна. Каждая горизонтальная прямая, проходящая через точки У, обязательно имеет хотя бы одну общую точку с графиком. Однако, у самой функции имеется горизонтальный участок, поэтому при соответствующем значении у горизонтальная прямая будет иметь бесконечно много общих точек с графиком.

Аналогичные рассуждения показывают, что функция, представленная на графике (в), будет одновременно и инъективна и сюръективна, т.е. является биекцией, а функция, изображенная на графике (г), одновременно не является ни инъективной, ни сюръективной.

Если f:Х ® У и А Í Х, то множество S = {у½уÎУ, у = f(х), х Î А}, т.е. множество всех тех у, в каждый из которых при отображении f отображается хотя бы один элемент из подмножества А множества Х, называется образом подмножества А и обозначается S = f(А). В частности, всегда У_f = f(X). Для образов множеств А

Х и В Х справедливы следующие соотношения:

f(АÈВ) = f(А)Èf(B),

f(АÇВ) Íf(А)Çf(B),

f(А)\f(В) Íf(А\В),

и если АÍВ, то f(А)Íf(В).

Если f:Х ® У и SÍУ, то множество А = {х½хÎХ, f(х)ÎS}

называется прообразом множества S и обозначается А=f^-1(S). Таким образом, прообраз множества S состоит из всех тех элементов хÎХ, которые при отображении f отображаются в элементы из S, или, что то же самое, которое состоит из всех прообразов элементов уÎS, т.е. f^-1(S) =

f^{- -1}(у). Для прообразов множеств SÍУ и ТÍУ справедливы соотношения:

f ^-1(S ÈТ) = f ^-1(S) È f ^-1(Т)

f ^-1(S ÇТ) = f ^-1(S) Ç f ^-1(Т)

f ^-1(S \ Т) = f ^-1(S) \ f ^-1(Т),

а если SÍТ, то f^-1(S) Íf^-1(Т).

Если АÍХ, то функция f:Х ® У естественным образом порождает функцию, определенную на множестве А, ставящую в соответствие каждому элементу хÎА элемент f(х). Эта функция называется сужением функции f на множестве А и иногда обозначается f_А. Таким образом, f_А: А®У и для любого хÎА имеет место f_А: х

f(х). Если множество А не совпадает со множеством Х, то сужение f_А функции f на множестве А имеет другую область определения, чем функция f, и, следовательно, является другой, чем f, функцией.

Композиция функций

Пусть f:Х®У и g:У®Z – функции. Функция F:X®Z, определенная для каждого хÎХ формулой F(x)=g(f(x)) называется композицией (суперпозицией) функций f и g, или сложной функцией, и обозначается

.

Композицию функций

можно проиллюстрировать следующим образом:

Пример. Пусть Х= {a; b; c; d; e}, У= {a; b; g; d}, Z= {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Пусть f:Х ®У и g:У®Z – функции, определенные соответственно так:

f(a) = b, f(b) = a, f(c) = f(d) = f(e) = d;

g(a) = 3, g(b) = g(d) = 5, g(g) = 1.

Тогда композиция функций

: Х®Z будет: а 5, b 3, с 5, d 5, e 5.

Заметим, что множество значений композиции

является подмножеством множества значений функции g, т.е. имеет место

Теорема 2. Пусть ¦:Х®У и g:У®Z. Тогда (

) (Х) Íg (У) или Í .

Доказательство. Пусть zÎ (g

f) (X), тогда существует хÎХ такой, что

(

)(х) = g(f(x)) = z. Пусть у=¦(х)ÎУ, тогда g(y) =z, поэтому zÎg(Y) и теорема доказана.

Теорема 3. Пусть даны две функции f:Х®У и g:У®Z. Тогда если f и g обе инъективны, то композиция

также инъективна, а если f и g обе сюръективны, то и композиция также сюръективна.

Доказательство. Пусть f и g – инъективны. Пусть х¢, х¢¢ÎХ, у¢=f(x¢), у¢¢=f(x¢¢). Тогда из равенства (

)(х¢) = ( ) (х¢¢) следует, что g(f(x¢)) = g(f(x¢¢)) или g(y¢) = g(у¢¢)Þ у¢ = у¢¢ (так как g инъективна) Þf(x¢) = f(x¢¢) (так как у¢ = f(x¢), у¢¢ = f(x¢¢) Þ х¢ = х¢¢ (так как f инъективна), следовательно – инъективна.

Пусть f и g сюръективны и zÎZ. Так как g сюръективна, то существует у Î У такой, что g(y) = z, и так как f сюръективна, то существует х Î Х такой, что f(x) = у.

Следовательно, существует х Î Х такой, что (

) (х) = g(f(x)) = g(y) = z, поэтому сюръективна.

Можно показать, что обратное утверждение не имеет места, то есть если композиция

инъективна (сюръективна), то отсюда не следует, что f и g с неизбежностью являются инъективными (сюръективными). Для этого приведем следующий пример:

Пусть

Х= {х₁; х₂}, У={у₁; у₂; у₃}, Z = {z₁; z₂} и определим f:Х®У,

f(х₁) = у₁, f(х₂) = у₂;

g:У®Z, g(у₁) = Z₁, g(у₂) = g(у₃) = Z₂:

Ясно, что f – инъективна, но не сюръективна; g – сюръективна, но не инъективна, тем не менее композиция ( ):Х®Z дает ( )(х₁) = z₁, ( )(х₂) = z₂, то есть одновременно и инъективна, и сюръективна.

Рассмотренный пример приводит к следующей теореме: