Функции (стр. 3 из 3)

Теорема 4. Пусть даны две функции f:Х®У и g:У®Z. Тогда если композиция

инъективна, то f также инъективна, а если композиция сюръективна, то g также сюръективна.

Доказательство. В обоих случаях применим метод доказательства с помощью контрапозиции. В первом случае высказывание контрапозиции будет следующим: если f – неинъективная, то и композиция

– неинъективная. Предположим, что f – неинъективная, тогда существуют х¢, х¢¢ÎХ такие, что х¢¹х¢¢, но f(x¢) = f(x¢¢).

Следовательно, (

)(х¢) = (g°f)(х¢¢), поэтому композиция функций также не инъективна.

Во втором случае высказывание контрапозиции будет таким: если g несюръективна, то композиция

несюръективна. Предположим, что g несюръективна. Тогда множество значений этой функции g(У) является собственным подмножеством множества Z. Так как, по теореме 2, ( )(Х) Íg(Y), то ( )(Х) есть также собственное подмножество множества Z, поэтому композиция не является сюръективной функцией.