Методы решения алгебраических уравнений (стр. 1 из 6)

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Московский автомобильно-дорожный институт (ГТУ) МФ

Факультет «АТ»

Кафедра «О и БД»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по предмету

«Прикладная Математика»

Выполнил студент 2ЭТ гр. Мусиев Г.М.

Проверил преподаватель Баламирзоев А.Г.

Махачкала 2008 г.

Оглавление

Введение

1. Решение нелинейных уравнений. Метод деления отрезка пополам. Метод касательных. Комбинированный метод хорд и касательных

2. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Методом Крамера. Методом Гаусса. Метод Жордана Гаусса. Метод Зейделя

3. Математическая обработка результатов опыта. Аппроксимация функций. Полином Лагранжа. Метод наименьших квадратов

4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Метод Рунге – Кутта

5. Практический раздел

Введение

В достаточно общем случае процесс решения прикладных задач состоит из следующих этапов:

1. постановка задачи и построение математической модели (этап моделирования);

2. выбор метода и разработка алгоритма (этап алгоритмизации) ;

3. запись алгоритма на языке, понятном ЭВМ (этап программирования);

4. отладка и исполнение программы на ЭВМ (этап реализации);

5. анализ полученных результатов (этап интерпретации).

Фабула практических задач связана с реальными объектами – производственными процессами и явлениями природы, физическими закономерностями, экономическими отношениями и т.п. Решение задач обычно начинается с описания исходных данных и целей на языке строго определенных математических понятий. Точную формулировку условий и целей решения называют математической постановкой задачи. Этап исследования и описания их с помощью математических терминов называется построением математической модели или моделированием. Построение математической модели является наиболее сложным этапом решения задачи. Математическая модель может иметь вид уравнения, системы уравнений или быть выраженной в форме иных, как угодно сложных, математических структур или соотношений самой различной природы. Математические модели, в частности могут быть непрерывными или дискретными, в зависимости от того, какими величинами – непрерывными или дискретными – они описаны.

Вслед за построением математической модели идет этап поиска и разработки алгоритма решения задачи который называется алгоритмизацией.

Особые трудности на этапе поиска алгоритма заключается в поиске методе решения задачи. Дело в том, что уже для достаточно простых моделей чаще всего не удается получить результат в аналитической форме. Пусть, к примеру, задача свелась к решению уравнения с одной переменной: x - tgx = 0 . При всей тривиальности этой задачи выразить корни уравнения путем аналитических преобразований не удается, и весь арсенал методов «точной» математики оказывается здесь беспомощным. В таких случаях приходится использовать приближенные математические методы, позволяющие получать удовлетворительные результаты. Основными методами решения подобных задач являются численные методы, при использовании которых результат получается путем вычислений. По этой причине наиболее естественный путь реализации численных методов – это использование ЭВМ.

На следующем этапе алгоритм задачи записывается на языке, понятном ЭВМ. Это- этап программирования, затем следует этап реализации- исполнение программы на ЭВМ и получение результатов решения.

Завершающий этап решения задачи - это анализ, или интерпретация результатов. На этом этапе происходит осмысливание полученных результатов, сопоставление их с результатами контрольного просчета, а также с данными, полученными экспериментальным путем. При этом одни результаты могут оказаться приемлемыми, а другие – противоречащими смыслу реальной задачи, такие решения следует отбросить. Высшим критерием пригодности полученных результатов в конечном итоге является практика.

В условиях использования ЭВМ численные методы являются мощным средством решения практических задач, хотя ЭВМ наоборот усложняет оценку точности получаемых результатов, как изложено в известном принципе Питера «ЭВМ многократно увеличивает некомпетентность вычислителя».

На общую погрешность задачи влияет целый ряд факторов, начиная с построения математической модели до производства вычислений. Сюда входят: неустранимая погрешность, погрешность метода, вычислительная погрешность и в итоге, полная погрешность вытекает из суммы всех погрешностей. При решении конкретных задач те или иные виды погрешностей могу отсутствовать или незначительно влиять на конечный результат, тем не менее, в каждом случае необходим полный анализ погрешностей всех видов. Это в полной мере относится и к неустранимой погрешности – погрешности математической модели.

К числу причин следует отнести также промахи, допускаемые в результате решения задачи: использование не тех данных, неверной программы вычислений и т.д. Поэтому необходима грубая прикидка ожидаемого результата, а это невозможно без ознакомления с понятиями приближенных методов вычислений, поэтом рассмотрим некоторые методы приближенных вычислений, применяемые в прикладной математике.

Задача о нахождения приближенных значений действительных корней уравнения f(x)=0 предусматривает предварительное отделение корня, т.е. установление промежутка, в котором других корней данного уравнения нет. Будем предполагать, что функция f(x) в промежутке [a, b] непрерывна вместе со своим производным f’(x) и f’’(x), значения f(a) и f(b) функции на концах промежутка имеют разные знаки, т. е. f(a)*f(b)<0, и обе производные f’(x) и f’’(x) сохраняют знак во всем промежутке [a, b].

Так как действительным корнями уравнения f(x)=0 являются абсциссы точек пересечения кривой у = f(x) с осью Ox, то отделение корня можно произвести графически. Вместо уравнения у = f(x) можно взять уравнения у = rf (x), где r – постоянная величина, отличная от нуля, так как уравнения f(x) =0 и rf (x) =0 равносильны.

Постоянную величину r можно взять так, чтобы ординаты точек графика не были чрезмерно большими или, наоборот, чтобы график не был слишком близок к оси Ox. Иногда бывает полезно уравнение f (x)=0 записать в виде

(x) =

(x). Действительными корнями исходного уравнения служат абсциссы точек пересечения графиков функций y =

(x) и у =

(x)

1.Метод деления отрезка пополам. Интервал изоляции действительно корня всегда можно уменьшить путем деления его, например, пополам, определяя, на границах какой из частей первоначального интервала функция f (x) меняет знак. Затем полученный интервал снова делят на две части и т.д. Такой процесс проводится до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответ десятичные знаки.

2.Методкасательных. Пусть действительный корень уравнения f (x)=0 изолирован на отрезке [a, b]. Будем предполагать, что все ограничения, сформулированные выше относительно f(x), сохраняют силу и в этом случае. Возьмем на отрезке [a,b] такое число xo, при котором f(xo) имеет тот же знак, что и fn (xo), т.е. f(xo)

o) >0 (в частности, за xoможет быть принят то из концов отрезка [a,b], в котором соблюдено это условие). Проведем в точке Mo[ xo; f(xo)] касательную к кривой y=f (x).За приближенное значение корня примем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ox. Это приближенное значение корня находится по формуле

х1 = х0 - f(хо)/ fI(хо)

Применив этот прием вторично в точке M1[ x1; f (x1)], найдем

X2=X1 – f (x1)/(x1)

и т. д. Полученная таким образом последовательность xo, x1,x2 … имеет своим пределом искомый корень.

Для оценки погрешности приближенного значения корня, найденного методом Ньютона, может быть использовано неравенство

| х - ξ | < [f(ξ) ]2/2 × max| fII(х)/ [fI(х) ]3|

[a., b]

3. Комбинированный метод хорд и касательных. Пусть требуется найти действительный корень уравнения f (x)= 0, изолированный на отрезке [a,b]. Предполагается, что f (a) и f (b) имеют равные знаки, а каждая из производных сохраняет определенный знак на отрезке изоляции. Возьмем на отрезке [a,b] такую точку xo, что f (xo) и f” (xo) (при x, принадлежащем промежутку изоляции) имеют одинаковые знаки.

Воспользуемся формулами методов хорд и касательных:

X11=Xo- f (xo) / f1(xo); X12 = a – (b – a ) f (a) / f (b) – f (a).

Величины X11 и X12 принадлежат промежутку изоляции, причем f (X11) и f (X12) имеют разные знаки.

X21=X11- f (x11) / f1(x11); X22=X11-(X12-X11) f (X11) / f (X12) – f (X11).

Точки X21 и X22 на числовой оси расположены между точками X11 и X12, причем f (X21) и f (X22) имеют разные знаки.

Вычислим теперь значения

X31=X21- f (x21) / f1(x21); X32=X21-(X22-X21) f (X21) / f (X22) – f (X21).

Каждая из последовательностей X11, X21, X31,... Xn1, …; X12, X22, X32, …, Xn2, …стремится к искомому корню, причем одна из последовательностей монотонно возрастает, а другая – монотонно убывает. Пусть, например, Xn1 < X< Xn2, тогда 0 < X- Xn-1 <

Xn2- Xn2 – Xn1. Задав заранее достаточно малое

мы можем, увеличивая n, добиться выполнения неравенства Xn2 – Xn1 <

; следовательно, при этом же значении n будет выполняться неравенство