Методы решения алгебраических уравнений (стр. 2 из 3)

а) Рассмотрим сначала состояние равновесия

, т.е. состояние, когда на вашем счету денег нет.д.обавим малое "возмущение" точке равновесия и исследуем её динамику со временем: т.е. , тогда из (25) получаем:

(27)

т.к

, ясно, что поэтому ею можно пренебречь в (27). Вследствии имеем:

(29)

отсюда, легко получить, что

(29)

т.е. возмущения нарастают со временем, что со своей стороны означает неустойчивость точки равновесия

. По смыслу же, задачи это означает рост вклада со временем, если хоть какая-то малая сумма денег села на счёт.

б) Исследуем теперь устойчивость второй точки равновесия:

. Здесь также дадим малое приращение к точке равновесия, т.е. рассмотрим значение и исследуем динамику этого состояния с течением времени n. Из (25) получаем:

(30)

Произведя преобразования, имеем:

Учитывая, что

и поэтому, пренебрегая ею получаем:

(31)

для устойчивости точки равновесия

, должно выполнятся условие:

(32)

т.е.

(рис.1)

(33)

это условие со своей стороны означает, что

(34)

таким образом, если мы выберем в качестве относительного коэффициента роста:

(рис.2)

(35)

то состояние

будет устойчивым, иначе мы вступаем в зону неустойчивостей, которая полна неожиданностями. В частности, при , (рис.3) возникают периодические колебания (рис.1). При картина усложняется и появляется двоякопериодические колебания (рис.2) При дальнейшем росте относительного коэффициента прироста, получаем учетверение периода и т.д., в случае наблюдаются хаотические колебания (рис.3).

Таким образом, нелинейные итерационные формулы типа (2) скрывают в себе множество тайн и для их раскрытия нужны дополнительные исследования в каждом конкретном случае. Тем более, что не всегда удаётся оценить сходимость итерационного процесса глобально.

Этот пример хоть и является частным случаем формулы (2), но наводит на полезные размышления. Вышеизложенная итерационная формула (25) впервые была построена для изучения динамики популяций особей определённого вида в зависимости от истребления ареала пищи Ферхюльстом и носит его имя.

Мы видим, что одна и та же математическая модель может содержать в себе различные аспекты приложений, что вполне характерно для духа прикладной математики.

3. Методы решения алгебраических уравнений

Большинство задач физики, экономики, социологии, биологии и других областей знания приводят к решению алгебраических уравнений или систем уравнений.

Несмотря на наличие множества приближённых методов, в настоящее время, пожалуй, нет общего подхода для решения любого нелинейного уравнения и тем более нелинейной системы уравнений. Поэтому, в каждом частном случае приходится исследовать уравнения и строить соответствующие алгоритмы, комбинируя идеи разных численных методов. Так, что решение нелинейного уравнения, в настоящее время, скорее искусство, чем наука. Хотя, известные программные продукты современных фирм позволяют, во многих случаях, упростить поиск корней.

Перейдём на изложение основных известных и наиболее популярных методов. Прежде отметим, что при отыскании приближённых значений корней приходится решать две задачи:

а) отделение корней, т.е. отыскание достаточно малых областей в каждой из которых находится корень;

б) вычисление корней с заданной точностью.

3.1 Метод деления отрезка пополам (метод дихотомии)

Перед началом решения уравнения

(36)

мы должны выделить интервал поиска решения

, т.е. ответить на вопрос а) предыдущего параграфа. Для этого используется теорема Вейерштрасса.

Теорема Вейерштрасса: Если на концах некоторого отрезка непрерывная функция

принимает значения разных знаков, то на этом отрезке уравнение (36) имеет хотя бы один корень.

Эта теорема выражает геометрически очевидный факт (рис.4), состоящий в том, что если в точках

и график непрерывной функции находится в

разных полуплоскостях от оси

, то найдётся точка , такая что график этой функции пересекается с осью в точке , т.е. .

а

bЗамечание: если при этом имеет первую

производную

- не меняющую знака, то корень единственный.

Таким образом, мы можем сказать, что уже умеем

Рис. находить отрезок

, где находится корень

уравнения (36), но этот отрезок можно уменьшать, основываясь на теореме Вейерштрасса.

Для этого в качестве первого приближения к корню берём середину отрезка

, т.е.

(38)

Этой точкой отрезок

делится на два равных отрезка: и . Используя теорему Вейерштрасса, устанавливаем в каком из этих отрезков лежит корень, т.е. на концах какого из этих двух отрезков функция принимает разные знаки. С этим отрезком действуем также, т.е. выбираем в качестве второго приближения к корню середину этого отрезка и продолжаем этот итерационный процесс, пока отрезок поиска решения не станет меньше требуемой точности .

Оценка погрешности вычислений по методу деления отрезка пополам производится по очевидной формуле:

(39)

Ясно, что

, а относительная погрешность .

Изложенный метод легко программируется и даёт сходимость с точностью (39), хотя при практических вычислениях чаще пользуются комбинациями различных численных методов, добиваясь более быстрой сходимости процесса.